計算群論
群論の計算を計算機にやらせてみようという企画の手始めとして，群の演算表が与えられたときにその群の位数を計算するというプログラムを考えてみる。群の元が1から番号をつけられているとして（1番目は常に単位元としておく），演算表が1からまでの整数をエ…
数ヶ月にわたってO'Brien論文を読んできたわけであるが，結論として与えられたp-群のimmediate descendantを求めるアルゴリズムをまとめるとつぎのようになる． step 1) からを求める． step 2) のp-multiplicator とnucleus を求める． step 3) の部分群で…
本解説は O'Brien論文を解読しているのだが、多少のオリジナリティを出そうと，の universality だけを使う証明にしようとしてずいぶんてこずり，気がつくとかなり更新の間隔があいてしまった．その間，残念なことに数学リングが無くなってしまい，いったい…
p-covering group のある性質をみたす部分群とのimmediate descendantとに対応があるというのが を導入したミソである． Theorem 有限p-群をd-generator かつ exponent-p class c とする． このとき任意ののimmediate descendant に対して，の真部分群が存在…
immediate descendantとの関連を調べる前にp-covering group のuniversalityについて述べる． p-covering group of Gの普遍性 有限p-群をd-generator かつ exponent-p class c とする． このとき任意の 有限 d-generator p-群と 全射準同型 で、その核 がele…
この定理は，今回，計算群論を調べているうちに初めて出合った定理であった．いままで関係式による群の定義は知っていたものの，その逆である全ての有限群は関係式により定義できるということは漫然と当たり前と思っていた．しかし，もしある有限群を定義す…
さて、そんな都合のいい方法とは．．． まずは天下りながら，d-generator p-群に対してそのp-covering group と呼ばれる p-群を定義する． p-covering group of G p-群をd-generator かつ exponent-p class c とする． のd個の生成元からなる自由群をとし，…
やっと本論に突入. まずは、p-群のdescendantの定義である. p-群のdescendant の定義 p-群を d-generator かつ exponent-p class c とするとき d-generator p-群で なるものを のdescendantと定義する． またdescendant のうち、特にとなっているものを imme…
O'Brien論文の最初のほうに列挙されているの性質について解説する． の性質 1） 準同型 に対して、 2） かつ は exponent-p class c ならば 3） 有限p-群 に対して、 : のFrattini 部分群（のすべての極大部分群の積集合） 1） は を作る操作と準同型で送り…
定義だけではなんなので、具体的なPCPの計算をとでやってみる。 を定義として、降中心列を計算すると、 となる。それぞれの商群から生成元を選んでやると、たとえば とすると、PCPは となる。 では、 となり、降中心列はよく似ているが、 と選ぶと、PCPは と…
O'Brien論文のための予備知識第二弾である。降中心列の類似品である lower exponent-p central series を次のように定義する。 Lower exponent-p central series p-群に対して ， ， と定義するとき、はの特性部分群であり、．また在るに対して となる。 を…
O'Brienの論文で前提とされている事柄がいくつかあるが、まずp群に対するPower-Commutator Presentation (PCP)について解説しておく。PCPは一般に可解群について定義できるが、ここではベキ零群、特にp-群に対しての定義を述べる。 p-群はベキ零であるので、…
前回述べたBescheらのミレニアムプロジェクト等々、コンピュータを使って有限群論を研究するという分野はCGT（Computational Group Theory）と呼ばれている。ルービックキューブの最小手順を求めたりするお遊び風のものもあれば、化学で高分子の異性体の数を…
