はその形から、n≡3(mod 4)である。しかも、p以下の素数では割り切れないため、その素因子はpより大きな素数である。そのどれか一つは少なくとも mod 4で3になる。なぜなら、そうでないと 素因子は全て mod4 で1になるが、それらを掛け合わせた nは mod 4で3…

Euclidの証明を少し変えて としてを考える。（の条件をつけるのはとしたいため。）これはのどれでも割り切れないため、より大きな素数を素因子として含む。 よって 。 ∴ [tex:p_n\frac{1}{ln2}ln ln x] □ しかしながら実際にこの不等式を計算してみるとπ(10)…

こっちのネタ本の方もすこし読み進めてみた。気になったところをコメントする。 P.13の命題1.2.1の下のあたりに、『どんな閉論理式の有限集合をとっても、それが任意の可除アーベル群で正しければ、可除でないアーベル群でも正しくなってしまう』というステ…

n番目の素数を与える Gandhi formula を証明せよという問題。（GahndiとprimeでWeb検索するとどうしてもprime minister Gahndiが出てくるというオチが...）ヒントを参考に、から、d桁毎に1が立っている二進小数展開ができ、それが合成数のところでうまく打ち…

π(x)を与える一見すごそうな公式に見えるのだが、実は前問と同じく計算としては実用性のないものである。nをkで割って n=k･m+r , 0≦r＜k と表しておく。であるから、 よって ⇔ r≠0 ⇔ kはnを割り切らない ⇔ r=0 ⇔ kはnを割り切るが成立する。よって = nの2以…

和の中でm=nの時とm=1の時はどちらもとなるので、それ以外の項の和が 0 かどうかで素数判定できるという等式である。n:素数でない⇒ ∃p,q＞1 (n=p・q) ⇒ であるから素数でないなら和は2でない。つまり 問題の和=2 ⇒ n:素数 逆に 1＜m＜n かつ なる m が存在し…

ユークリッド整域 ⇒ 単項イデアル域 ⇒ 素元分解整域というような一般論もあるが、ここではユークリッド互除法を使って直接証明してみる。素数pとpで割り切れない整数xに対して、ユークリッド互除法を繰り返し使うとkp+lx=1 なるような整数k,lが存在する。同…