extension typeを列挙するために，次のLemma2が必要となる． Lemma21) 2) ＜Lemma2の証明＞ いずれも証明というよりも直接計算による確認である(表はWild論文のものに不動点を加えた）． 1) の生成元をとする．はの像により定まる．結果は次の通り． の像 位…

調子にのって位数16にもチャレンジしてみる．なので，本当なら一生懸命やっていた p-group generation algorithmを使ってみたいところなのだが... 位数16の群の分類もまた Red cat氏の論文にばっちり書いてあるが，ここではcyclic extension theoremを使った…

位数60の群に対して，『が単純 』の後半部分を示す．5-Sylow部分群は6個あり，5-Sylow部分群の集合にはGの内部自己同形による置換が引き起こされるため、準同形 が定義できるが，の単純性よりこれは単射となっている。また，前回でも使った論法だが，置換の…

前にBurnsideが著作のなかで位数60の群の分類はいい演習になると書いていることを紹介したが，私が探した範囲では，完全な記述はRed cat氏の論文以外には見たことがない．再度ここに紹介しておく．"位数120までの群の分類"さて，位数60の群は全部で13ある．…

定義だけではなんなので、具体的なPCPの計算をとでやってみる。 を定義として、降中心列を計算すると、 となる。それぞれの商群から生成元を選んでやると、たとえば とすると、PCPは となる。 では、 となり、降中心列はよく似ているが、 と選ぶと、PCPは と…

前回述べたBescheらのミレニアムプロジェクト等々、コンピュータを使って有限群論を研究するという分野はCGT（Computational Group Theory）と呼ばれている。ルービックキューブの最小手順を求めたりするお遊び風のものもあれば、化学で高分子の異性体の数を…

この群の構成の問題はいまどこまで解けているのだろうか？ この問題で手ごわいのは意外に2の冪乗の群である。位数16で14個、位数32で51個、位数64で267個、位数128で2328個、位数256で56,092個、位数512で10,494,213個とどんどん恐ろしいことになってくる。…

与えられた位数の有限群の同型類を全て求めるという問題である。この問題の歴史は古く、1854年にCayleyが位数4と6の群を決定したことに端を発する（ちなみにどちらも2つの同型類がある）。群論の演習で出てきそうな問題であるが、Burnsideも位数60の群の決定…