p-covering group of G の普遍性 - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

immediate descendantとの関連を調べる前にp-covering group $G^{*}$ のuniversalityについて述べる．

p-covering group of Gの普遍性

有限p-群 $G$ をd-generator かつ exponent-p class c とする．

このとき任意の有限 d-generator p-群 $H$ と全射準同型 $f:H \to G$ で、その核 $Ker f$ がelementary p-群でかつ $H$ の中心に含まれるものに対して，次の図を可換にする全射準同型 $\phi :G^{*} \to H$ が存在する．
$\begin{matrix} & \quad G^{*} \\ \phi & \downarrow & \searrow^{\pi} \\ & H & \to^{f} & G & \to & 1 \\ \end{matrix}$

この普遍性があるとこれを満たす $G^{*}$ は同型をのぞいて $G$ から唯一に決まってしまう．それは， $G^{*}$ 自身が $H$ に関する条件を満たすため，もし普遍性を満たす別の群 $K$ があると， $G^{*}$ と $K$ の間にはお互いに全射準同型が入るが，どちらも有限群であるため位数を比較すれば，それらは同型になるからである．
(ただし、上記の普遍性における全射準同型 $\phi$ はユニークに決まっているものではない．）

定義を復習すると $F$ をd個の元から生成される自由群とし， $R$ を $G$ の定義関係式（から生成される正規部分群）とするとき，つまり $G=F/R$ のとき, $R^{*}=[R,\quad F]R^{p}$ , $G^{*}=F/R^{*}$ と定義する．
自然な全射準同型 $\pi: G^{*} \to G$ は、 $G^{*}=F/R^{*} \to {F/R^{*}} {\left/{R/R^{*}}}=F/R=G$ で与えられる． $Ker \pi = R/R^{*}$ となる．
さて， $G^{*}$ が上記の普遍性を満たすことを証明する．
まず， $f:H \to G$ が全射なので， $F$ の生成元の $\pi$ の像の $f$ による逆像から元を選ぶことで，
$\begin{matrix} & \quad F \\ \phi & \downarrow & \searrow \\ & H & \to^{f} & G & \to & 1 \\ \end{matrix}$
を可換とする準同型 $\phi : F \to H$ が定義できる．この $\phi$ による $R \subset F$ の像は $F \to G$ で $R$ が 1 につぶれるため， $\phi(R) \subset Ker f$ であることが分かる．この包含関係と $Ker f$ がelementary p-群でかつ $H$ の中心に含まれるという条件から， $R^{*}$ の像 $\phi(R^{*})$ は $H$ の中で1につぶれていることが分かる．このため $\phi : F \to H$ は， $\phi : G^{*}=F/R^{*} \to H$ を自然に誘導する．これが求める準同型であるが，全射であることを示す必要がある．
一般的に，有限群 $G$ に対し，それをfrattini部分群で割った可換群 $G/\Phi(G)$ を対応させるものは関手となる．それは全射準同型を全射準同型に移すが、逆に移った写像が全射ならもとの写像も全射である．この事実を利用すれば、 $G^{*}$ に関する可換図式から
$\begin{matrix} & \quad G^{*}/\Phi(G^{*}) \\ \Phi(\phi) & \downarrow & \searrow^{\Phi(\pi)} \\ & H/\Phi(H) & \to^{\Phi(f)} & G/\Phi(G) \\ \end{matrix}$
が，得られるがこれらの有限群はすべてd-generatorであったらから、 $\Phi(\pi)$ ， $\Phi(f)$ は同型となっている．よって $\Phi(\phi)$ も同型となり， $\phi :G^{*} \to H$ が全射であることが分かる．