p-covering group of G - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

さて、そんな都合のいい方法とは．．．
まずは天下りながら，d-generator p-群 $G$ に対してそのp-covering group と呼ばれる p-群 $G^{*}$ を定義する．

p-covering group of G

p-群 $G$ をd-generator かつ exponent-p class c とする．

$G$ のd個の生成元からなる自由群を $F$ とし，全射準同型 $F\to G$ の核を $R$ とする．（ $R$ は $G$ の定義関係式の生成する群である．）

ここで $R^{*}=[R,\quad F]R^{p}$ , $G^{*}=F/R^{*}$ と定義し，

$G^{*}$ を p-covering group of $G$ ， $R/R^{*}$ を p-multiplicator of $G$ ， $P_c(G^{*})$ を nucleus of $G$ と呼ぶ．

またこのとき $P_c(G^{*})\le R/R^{*}$ である．

一気にいろいろ定義されたが，いくつか確認しなくてはならないことがある．
まず $R \triangleright R^{*}$ . これは $[R,\quad F]R^{p}$ は $F$ の正規部分群であり，かつ $R \ge R^{*}$ より．
次に $R/R^{*}$ は，有限群で，elementary p-群かつ $G^{*}$ の中心に含まれる．ここで有限群であるところだけが自明でないが，実はこれはまったく自明ではない．このことは、『有限生成群の部分群で指数が有限なものは、有限生成』という定理から出る（その証明は続きに）．
次に $G^{*}$ が有限 p-群であることは、完全列

$1\to R/R^{*} \to G^{*} \to G \to 1$

で、 $R/R^{*}$ と $G$ が有限p-群であることから出る．( $G^{*}$ の位数は $R/R^{*}$ と $G$ の位数の積である．）
また， $P_c(G^{*})\le R/R^{*}$ は，上記の $G$ への上への準同型と $G$ がexponent-p class cであることから出る．

p-covering group $G^{*}$ は p-group generation algorithm のまさに心臓部であり，予告すると，この群の中で $G$ の全てのimmediate descendantの生成と分類ができることになる．余談ながら， p-covering group $G^{*}$ の命名からして，位相群での被覆群を連想させる．上の完全系列は elementary p-群 $R/R^{*}$ をfibreとするような感じである．実は $G^{*}$ には次回述べるように普遍性があり，あたかも普遍被覆群のようである．このあたりたまたま似ているだけなのか，あるいはもっと深いところからきているのか私にはよくわからない．