p-group generation algorithmの戦略 - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

やっと本論に突入. まずは、p-群 $G$ のdescendantの定義である.

p-群 $G$ のdescendant の定義

p-群 $G$ を d-generator かつ exponent-p class c とするとき

d-generator p-群 $H$ で　 $H/P_c(H) \simeq G$ なるものを $G$ のdescendantと定義する．

またdescendant のうち、特に $P_{c+1}(H)=1$ となっているものを immediate descendantと定義する．

整数ｄとｃは $G$ で決まっていることに注意．意外とあっさりした定義だが、重要な概念である．

さて、なぜこんなものを定義したのかであるが、 $G$ の lower exponent-p central series

$\quad \quad P_0(G)=G \triangleright P_1(G) \triangleright \cdots \triangleright P_{c}(G)=1$

において、自然な上への準同型 $G/P_{i+1}(G) \to G/P_i(G) \quad (i \lt c)$ は同型

${G/P_{i+1}(G)}\left/{P_i(G)/P_{i+1}(G)} \simeq G/P_i(G)$

を引き起こすが、 $G/P_i(G)$ は exponent-p class i であり、 $P_i(G/P_{i+1}(G))=P_i(G)/P_{i+1}(G)$ かつ $P_{i+1}(G/P_{i+1}(G))=1$ は、定義よりほとんど自明にわかるため、この同型は $G/P_{i+1}(G)$ が $G/P_i(G)$ のimmediate descendantであることを意味している．
（どちらも d-generatorであるのは ${G/P_i(G)}\left/{\Phi(G/P_i(G))}={G/P_i(G)}\left/{P_1(G)/P_i(G)} \simeq G/P_1(G)=G/{\Phi (G)}$ より）

そこでもし、与えられたp-群のimmediate descendantをすべて求める方法があれば、 $G/P_1(G)$ から出発して、 $G/P_2(G)$ 、 $G/P_3(G)$ と進んで、最後は $G/P_c(G)$ すなわち $G$ にたどり着くことができるのである。
$G/P_1(G)$ は d個の $C_p$ の直積で、求めたいp-群 $G$ の位数を $p^n$ とすると、 $1 \le d \le n$ であるため、この範囲の各々のdに対してimmediate descendantをたどれば全ての $G$ に到達できる．これがp-group generation algorithmの戦略である．descendant (子孫）を次々と作っていくのでgeneration algorithmと呼ぶのであろう．

また、最終的に求められた $G$ の同型問題については、immediate descendantが同型ならその親も同型になることより、immediate descendanｔをすべて求める際に同型であるものを除いておけば、それ以後に枝分かれした子孫はすべて同型にならないことがわかる．うまい分割統治である．ただし、immediate descendantをすべて求めて、かつ、それらを同型判定するというすごく都合のいい方法があればであるが．．．