Legendreによる素数定理π(x)=o(x)の証明を再現する問題らしい。まず、 であるが、の定義から、『1≦n≦x で nの素因子がすべてより大きいような n』の個数である。ところが、nがより大きな素数のどれかに一致しない場合、nのその他の素因子はより小さくなるた…

厳密に定式化せよ(cast in rigorous language)ということであるが、ある整数xが与えられた時点でそれが素数かどうかは決まっているので、『xが素数である確率』といったもような表現はそもそも変である。 そこで、xが素数かどうかということを知るための情報…

まず、N以下の正整数で、有限素数列のいずれかで割り切れるものの数が-\sum_{i0.22857\cdots]である。 さて、後半。の逆数の和が発散するとして、の任意の有限部分列を作ると先の議論と同様にして、の漸近密度がで抑えられることがわかる。にできるのでの漸…

まず、前半。 は明らかなので、aの位数dはnの約数である。もし、d＜n だとすると [tex:1\le a^d-1

問題1.7によく似ているが、与えられた数の素因子のどれか一つはmod 4で1になるという部分がうまくいかないため、全く違う解法となった。 qをの素因子の一つとすると、 一方、フェルマーの小定理よりであるが、もし (q-1)/2 が奇数であるととなり、矛盾してし…