The p-group Generation Algorithm

数ヶ月にわたってO'Brien論文を読んできたわけであるが，結論として与えられたp-群のimmediate descendantを求めるアルゴリズムをまとめるとつぎのようになる．


step 1) からを求める．
step 2) のp-multiplicator とnucleus を求める．
step 3) の部分群で，となっているものを列挙する．
step 4) 全てのから，を作って，step 3 の部分群の集合への作用からorbitを求める．
step 5) それぞれのorbitからひとつづつ代表元を選ぶ．
step 6) 代表元の集合から, を作ると，それらはの immediate descendantの全ての同型類からの(重複のない)代表元の集合になっている．


とまあ，こうなるわけであるが，実際に計算しようとするといろいろと困難な点がある．
O'Brien論文の後半は実装に関する記述であるが，かなりざっくりとしたもので，私の予備知識の不足もあり，よくわからないところが多々ある．たとえば step 1を実行するには別のnilpotent quotient algorithm というものが必要らしい．また，からを計算するというのは一般的にはかなりの難問である．ただし，今回の場合はからを計算する方法はあるようなのでまだましである．いずれにせよ（うすうすは感じていたものの）そう簡単に計算機に実装することはできないようである．世の中そう甘くない...しかし，ちと悔しいので，ここはまあHolt本でも、まじめに勉強してみるか...