p-covering group of G と immediate descendant - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

p-covering group $G^{*}$ のある性質をみたす部分群と $G$ のimmediate descendantとに対応があるというのが $G^{*}$ を導入したミソである．

Theorem

有限p-群 $G$ をd-generator かつ exponent-p class c とする．

このとき任意の $G$ のimmediate descendant $H$ に対して， $R/R^{*}$ の真部分群 $M$ が存在して，
$H \simeq G^{*}/M$ かつ $M P_c(G^{*})=R/R^{*}$

逆に $M P_c(G^{*})=R/R^{*}$ を満たす $R/R^{*}$ の真部分群 $M$ に対して， $G^{*}/M$ は $G$ のimmediate descendantとなる．

$R/R^{*}$ の（真）部分群 $M$ は， $R/R^{*}$ が $G^{*}$ の中心に含まれているため，自動的に $G^{*}$ の正規部分群となっている点に注意．
まず前半部分． $G$ のimmediate descendant $H$ とは，d-generator p-群 $H$ で $H/P_c(H) \simeq G$ かつ $P_{c+1}(H)=1$ となっているものであった．
$P_{c+1}(H)=[P_c(H),\quad H]P_c(H)^p=1$ であるから $P_c(H)$ はelementary p-群でかつ $H$ の中心に含まれる. これは $G^{*}$ の普遍性に出てくる条件を満たすため，全射準同型 $\phi:G^{*} \to H$ が存在して，次の可換図式が得られる． $M=Ker \phi$ とした．
$\begin{matrix} &&&& 1 \\ &&&& \downarrow \\ &&&& M \\ &&&& \downarrow \\ 1 & \to & R/R{*} & \to & G^{*} & \to^{\pi} & G & \to & 1 \\ & & & \quad \quad \phi & \downarrow & & \parallel \\ 1 & \to & P_c(H) & \to & H & \to_{f} & G & \to & 1 \\ &&&& \downarrow \\ &&&& 1 \\ \end{matrix}$

この図式をたどれば， $\phi(R/R{*})=P_c(H)$ がわかる（five lemma の類似である）．また， $\pi(M)=f\circ \phi(M)=1$ より $M \le R/R^{*}$ ． $G^{*}$ の性質より $P_c(G^{*})\le R/R^{*}$ であったから， $M P_c(G^{*})\le R/R^{*}$ ．一方， $P_c$ の性質より， $\phi(P_c(G^{*}))=P_c(H)$ であるから， $\phi(R/R^{*})=P_c(H)$ と合わせれば， $M P_c(G^{*})=R/R^{*}$ を得る（ $R/R^{*$ の任意の元に対し， $\phi$ で送ったときに一致するような $P_c(G^{*})$ の元が存在し，その差は $Ker \phi=M$ の元となる）． $M$ が真部分群でなければならないのは， $M=R/R^{*}$ であると $1=\phi(M)=\phi(R/R^{*})=P_c(H)$ より， $H$ がimmediate descendantであることに矛盾するからである．
後半は， $H=G^{*}/M$ として，次の図式を考える．
$\begin{matrix} &&&& 1 \\ &&&& \downarrow \\ &&&& M \\ &&&& \downarrow \\ 1 & \to & R/R{*} & \to & G^{*} & \to^{\pi} & G & \to & 1 \\ & & & \quad \quad \phi & \downarrow & & \psi \downarrow \\ 1 & \to & P_c(H) & \to & H & \to_{p} & H/P_c(H) & \to & 1 \\ &&&& \downarrow \\ &&&& 1 \\ \end{matrix}$
ここに $\psi=p\circ \phi \circ \pi^{-1}$ と定義するが，これがwell-defined なのは $P_c(H)=\phi(P_c(G^{*}))=\phi(M P_c(G^{*}))=\phi(R/R^{*})$ であるからである．また，この等式から $P_c(H)\neq 1$ が出る（もし $P_c(H)=1$ ならば， $R/R^{*}=M$ となり， $M$ が真部分群であることに矛盾する）．また $P_{c+1}(H)=\phi(P_{c+1}(G^{*}))=1$ であるから，残るは $\psi$ が同型であることを示せばよい．まず，全射であることは $\phi$ ， $p$ が全射であることから直ちに従う．次に単射であることを示す． $\psi(g)=1, \quad g\in G$ としたとき， $\pi$ が全射なので， $g^{*}\in G^{*}$ が存在して， $g=\pi(g^{*})$ となるが， $p \circ \phi(g^{*})=\psi \circ \pi(g^{*})=1$ より， $\phi(g^{*}) \in Ker\quad p = P_c(H)=\phi(R/R^{*})$ となるが，これは $g^{*}$ が， $R/R^{*}$ と $Ker \phi=M$ の積でかけることを意味するが， $M \le R/R^{*}$ であったから結局のところ $g^{*}\in R/R^{*}$ となり， $g=\pi(g^{*})=1$ ．以上で証明はおしまいである．
この定理の意味するところは，immediate descendantを探したければ， $R/R^{*}$ の部分群を探せということである． $R/R^{*}$ はelementary p-群であるから構造はよくわかっているのである．