2008-01-01から1ヶ月間の記事一覧
やっと本論に突入. まずは、p-群のdescendantの定義である. p-群のdescendant の定義 p-群を d-generator かつ exponent-p class c とするとき d-generator p-群で なるものを のdescendantと定義する． またdescendant のうち、特にとなっているものを imme…
O'Brien論文の最初のほうに列挙されているの性質について解説する． の性質 1） 準同型 に対して、 2） かつ は exponent-p class c ならば 3） 有限p-群 に対して、 : のFrattini 部分群（のすべての極大部分群の積集合） 1） は を作る操作と準同型で送り…
定義だけではなんなので、具体的なPCPの計算をとでやってみる。 を定義として、降中心列を計算すると、 となる。それぞれの商群から生成元を選んでやると、たとえば とすると、PCPは となる。 では、 となり、降中心列はよく似ているが、 と選ぶと、PCPは と…
O'Brien論文のための予備知識第二弾である。降中心列の類似品である lower exponent-p central series を次のように定義する。 Lower exponent-p central series p-群に対して ， ， と定義するとき、はの特性部分群であり、．また在るに対して となる。 を…
O'Brienの論文で前提とされている事柄がいくつかあるが、まずp群に対するPower-Commutator Presentation (PCP)について解説しておく。PCPは一般に可解群について定義できるが、ここではベキ零群、特にp-群に対しての定義を述べる。 p-群はベキ零であるので、…
前回述べたBescheらのミレニアムプロジェクト等々、コンピュータを使って有限群論を研究するという分野はCGT（Computational Group Theory）と呼ばれている。ルービックキューブの最小手順を求めたりするお遊び風のものもあれば、化学で高分子の異性体の数を…
この群の構成の問題はいまどこまで解けているのだろうか？ この問題で手ごわいのは意外に2の冪乗の群である。位数16で14個、位数32で51個、位数64で267個、位数128で2328個、位数256で56,092個、位数512で10,494,213個とどんどん恐ろしいことになってくる。…
与えられた位数の有限群の同型類を全て求めるという問題である。この問題の歴史は古く、1854年にCayleyが位数4と6の群を決定したことに端を発する（ちなみにどちらも2つの同型類がある）。群論の演習で出てきそうな問題であるが、Burnsideも位数60の群の決定…
有限群ネタを求めてネットを漁って見つけたもので、一番感動を覚えたのは次のサイトである。 弘前大学理工学部数理システム科学科のサイトにある月間ホームページ2002年3月号： 絵で見る有限群 なんと位数60までの有限群が（全部ではないが）ヴィジュアルに…
では私が当面の目標としている Feit-Thompsonの定理、別名、奇数位数定理（odd order theorem)についてひとくさり。 まずはその内容であるが、 [Feit-Thompsonの定理] 奇数位数の有限群は可解である これだけである。しかし主張していることはすごい。群の位…
この日記は、私 kazu_FGFが趣味で気ままにやっている有限群の勉強の励みにしようと、お気楽に始めてみるものである。とはいえ、自分でも忘れてしまわないように、なぜ有限群なのか？という動機について初めに述べておきたい。話し出すと長くなるので結論を先…
