[小ネタ] の逆関数を求める 久々の投稿ではあるが，めっちゃ小ネタである．実は仕事のソフトを書いていてこの問題にぶつかった． の濃度がの濃度に等しいということの証明として，対応を具体的に と与えることができる．という具合にの作る平面を斜めに切る…

[物理学] Dirac『一般相対性理論』を読んでいた えーと，興味が抽象的な数学から具体的な数学に移る波の途中であらぬ方向に逸れて一般相対性理論に行ってしまった今日この頃です．これにはちょっと事情があって，実はHawking & Ellis『The large scale struc…

[集合論] Real Numbers その４（Jech本4章 p.42） 4章本編の最後に取り上げるのは，Baire空間である．Baire空間 は，記述集合論の道具の一つで無理数全体の集合と位相同型（ここで無理数全体にはからの相対位相を入れている）で，記述集合論では実直線と同一…

[集合論] Real Numbers その３（Jech本4章 p.40） 今回のネタは定理4.6 (Cantor-Bendixson)『実数の中の任意の非加算な閉集合は，完全集合と高々可算な集合の和集合となる()．]』である．系として，定理4.5と組み合わせると『をの閉集合とすると，は高々可算…

[集合論] Real Numbers その２（Jech本4章 p.40） 今回のネタは定理4.5『実数の中の任意の完全集合の濃度は』である． 完全集合とは，孤立点を持たない閉集合のことで，孤立点をもたないとは『任意の点のどんな開近傍もその点以外の点を含む』ことである．こ…

[集合論] Real Numbers その１（Jech本4章 p.37） さて，まずは定理4.1『実数の濃度は可算ではない』である．本書の証明は私は初めてみるきれいな形だったので感動した． よくある証明は『区間の実数を小数展開して対角線論法で矛盾を導く』というものではな…

[集合論] Jech本三章章末問題その2（Jech本p.34-35） 後半戦はDedekind有限性に関してだが，あまり面白い問題はなかったのでまとめ風にしてみた．まず定義： 集合がDedekind有限 に対して，上へのone-to-one写像 が存在しない. 集合がDedekind無限 に対して…

[集合論] Jech本三章章末問題その１（Jech本p.34） やってみて気になった問題を解説する．＜問題3.5＞ 左辺でがAlephのたびにに戻るのに対して右辺のベキは単調増加だから評価ガバガバやんと思っていたのだが，みたいな不動点はを含め無限に存在するので逆に…