Lower exponent-p central series - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

O'Brien論文のための予備知識第二弾である。降中心列の類似品である lower exponent-p central series を次のように定義する。

Lower exponent-p central series

p-群 $G$ に対して

$\quad \quad P_0(G)=G$ ， $P_i(G)=[P_{i-1}(G),G]P_{i-1}(G)^p \quad for \quad i \ge 1$ ，

と定義するとき、 $P_i(G)$ は $G$ の特性部分群であり、 $P_i(G) \triangleright P_{i+1}(G)$ ．また在る $c$ に対して $P_c(G)=1$ となる。

$\quad \quad P_0(G)=G \triangleright P_1(G) \triangleright \cdots \triangleright P_{c}(G)=1$

を、lower exponent-p central series と呼び、 $c$ を $P_{c}(G)=1$ なる最小の整数とするとき、Gはexponent-p class c であるという。

$K^p$ とは群 $K$ の任意の元をp乗した元の集合から生成される部分群である。 $P_i(G)$ が $G$ の特性部分群であることは $i$ に関する帰納法による。自明でないのは lower exponent-p central series が真に小さくなり、最後は1になってしまうことである。この証明には p-群 $G$ のPCPを利用する。
実際、 $C_i=\{a_{i+1}, \quad a_{i+2}, \quad \cdots \quad , \quad a_{n} \}$ とするとき、 $C_i \ge P_i(G)$ が成立しているため、高々 $n$ で $P_{n}(G)=1$ となるからである。

$D_8$ と $Q_8$ に対して、lower exponent-p central series を計算してみると、

$D_8 \triangleright P_1(D_8)=\langle a^2 \rangle \triangleright P_2(D_8)=1$

$Q_8 \triangleright P_1(Q_8)=\langle a^2 \rangle \triangleright P_2(Q_8)=1$

と降中心列と同じものができて例としてはあまり面白くはない。