Power-Commutator Presentation - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

O'Brienの論文で前提とされている事柄がいくつかあるが、まずp群に対するPower-Commutator Presentation (PCP)について解説しておく。PCPは一般に可解群について定義できるが、ここではベキ零群、特にp-群に対しての定義を述べる。
p-群 $G$ はベキ零であるので、その降中心列 $K_0=G$ ， $K_{i+1}=[K_{i},G]$ は、ある $c$ について $K_c=1$ となる。これより正規部分群の列

$G=K_0 \triangleright K_1 \triangleright \cdots \triangleright K_{c}=1$

が、できるが $K_{i}/K_{i+1}$ は可換p群になっている。これを細分して組成列

$G=C_0 \triangleright C_1 \triangleright \cdots \triangleright C_{n}=1$

を作る。 $C_j$ のうちにはどこかに $K_i$ が現われている。ここで $C_{j}/C_{j+1}$ は単純可換p-群、すなわち位数pの巡回群となる。また位数の関係から、元のp-群 $G$ の位数は $p^n$ となっている。
ここで $G$ の元の集合 $\{a_1,a_2,\cdots,a_{n}\}$ を $a_i\in C_{i-1}-C_i$ なるように選ぶ。このとき、 $C_i=\langle a_{i+1},a_{i+1},\cdots ,a_n \rangle$ となる。
さらに

Power-Commutator Presentation

位数 $p^n$ のp-群 $G$ に対して、その元の集合 $\{a_1,a_2,\cdots,a_{n}\} \subset G$ が存在して

$a_i^p = a_{i+1}^{\beta (i,i+1)} a_{i+2}^{\beta (i,i+2)} \cdots a_{n}^{\beta (i,n)}$ ， $0 \le \beta(i,j) \lt p$ ， $1 \le i \le n ,$

$[a_j,a_i]=a_{j+1}^{\beta (i,j,j+1)} a_{j+2}^{\beta (i,j,j+2)}\cdots a_{n}^{\beta (i,j,n)}$ ， $0 \le \beta(i,j,k) \lt p$ ， $1 \le i \lt j \le n$ ．

また、 $G$ の任意の元は $a_{1}^{k_1} a_{2}^{k_2} \cdots a_n^{k_n}$ ， $0 \le k_i \lt p$ ， $1 \le i \le n$ の形に唯一に書ける。

となっている。最初の関係式（p-power）は、 $a_i^p \in C_i$ から従い、二番目の関係式(commutator)は、 $K_{s} \supseteq C_j$ なる一番大きな $s$ をもつ降中心列の要素 $K_{s}$ に対して、 $K_{s+1}=[K_{s},G] \supseteq [C_j,G]$ であり、組成列の中で $K_{s+1}$ はかならず $C_{j+1}$ 以降に現われることから従う。 $G$ の元の $a_{k}$ らによるベキによる表示は $C_{i}$ に対する帰納法（ $i=n$ から0に進む）で証明できる。commutator $[a_j,a_i]$ が、 $a_{j+1}$ 以降の元の積で書ける点がミソである。