位数の小さな群を全て求める

与えられた位数の有限群の同型類を全て求めるという問題である。この問題の歴史は古く、1854年にCayleyが位数4と6の群を決定したことに端を発する（ちなみにどちらも2つの同型類がある）。群論の演習で出てきそうな問題であるが、Burnsideも位数60の群の決定問題はすごくいい演習になると著作で述べている（実際はそう簡単なものではない。答えは13）。
FT定理などの大定理に比べるとなんだか問題が小さいような思うかもしれないが、実はこれ結構難しいのである。Sylowの定理を駆使し、ちまちま場合分けをしてと大変テクニカルな面が大きいのだが、有限群の方法論の本質を突いているという話もある。かのThompsonが彼の有限群論の業績における方法論とは何かと聞かれて、「Sylowの定理」と答えたという話もあるそうだ。
さて、この問題に関して、ぜひとも紹介しておきたい資料がある。本ブログも参加している、はてなリング数学の輪の主催であるRed cat氏の労作 『位数120までの群の分類』である。
http://d.hatena.ne.jp/redcat_math/20051129
私もまだ全部読み込んだわけではないが、大変参考にさせてもらっている。実はこっそりとこの論文の結果を短縮しようと企んでいるのだが、全90ページのうち、位数16に6ページ、位数81に12ページ、に15ページが費やされており、このあたりが狙い目である。うまくいけばこの場で紹介していきたい。