■ - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

[数論]二次体の整数環の素イデアルをすべて求める（素イデアルとは何ぞや編）

さて、整数環の素イデアルを求める冒険を続けよう。

まず、素イデアルとは何か...いやまあ、なんでこんなことを言ってるのかというと底本での定義はp.287の冒頭に、

『イデアル $P$ （ただし $P\ne 1$ )が１と $P$ 以外のイデアルで割り切れないときには $P$ を素イデアルという。』

とある。割り切れるという用語を前回の（＊2）により包含関係に翻訳すると、これは任意のイデアル $A$ が $P \subset A$ なら $A=P$ か $A=(1)$ と言っている。いや、ちょっと待ってください、高木先生。これは極大イデアルの定義ではないですか？

　実はその続きの素イデアル分解の話はこの極大イデアルの性質と（＊2)とイデアルの世界で $AB＝AC　なら　B＝C$ という定理5.10を使うので、これをこの時点では普通の素イデアルの定義（定理5.13のステートメント）と解釈してはいけない。なのでここでは素イデアルによる分解というより、極大イデアルによる分解となっている。極大イデアルは素イデアルなので素イデアル分解でも間違いではないかもしれないが、普通の定義での素イデアルがさらに極大イデアルの積に分解されてしまうかもしれないのである。
　しかし、ご安心を。整数環 $\mathcal{O}_{K(\sqrt{m})}$ では次に示すように((0)を除く)素イデアルはすべて極大イデアルなので不都合は起こらない。ただ、底本ではこの事実を示す必要はなかったが、『二次体の整数環の（普通の定義の）素イデアルをすべて求める』を問題にするならこの点には言及しておく必要がある。歴史的に見て、極大イデアルと素イデアルを区別する必要がなかった（当時の重要な数学的対象ではそれらは一致していた）時代の著作であったと理解するべきなのだろうか。前回も述べたが本書の初版が1931年で、昔の代数のテキストの代表と思われるvan der Waerden'Moderne Algebra'の初版が1930年である。それはそれとして、現時点で底本の素イデアルの定義をそのまま使うのは混乱のもとだと思うので以降は素イデアルといえば普通の定義（ $AB\subset P \Rightarrow A\subset P\quad or \quad B\subset P$ ）を意味する。

さて、整数環 $\mathcal{O}_{K(\sqrt{m})}$ の((0)を除く)素イデアルは極大イデアルであることを示そう。まずは一般論であっさりと片付ける証明。

イデアルの構造定理を見ると、整数環 $\mathcal{O}_{K(\sqrt{m})}$ を任意のイデアル $A=[a,b+c\omega]$ で割った商環を考えると $\mathbf{Z}$ 加群として $\mathcal{O}_{K(\sqrt{m})}/A \simeq (\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}) \times (\mathbf{Z}/c\mathbf{Z})$ が成立している。この対応は $\mathcal{O}_{K(\sqrt{m})}$ の元 $x+y\omega$ に対して $y=l\cdot c+s \quad 0 \le s{<}c$ と $x-(l\cdot b)=k\cdot a+r\quad 0\le r{<}a$ と整数間の割り算しておいて、
$x+y\omega =r+s\omega + k\cdot a+ l\cdot (b+c\omega) \mapsto ([r],[s])\quad in\quad (\mathbf{Z}/a\mathbf{Z}) \times (\mathbf{Z}/c\mathbf{Z})$
とすればよい。特に、商環 $\mathcal{O}_{K(\sqrt{m})}/A$ は有限で $ac$ 個の元しか持たないことがわかる(A=(0)だけ例外)。

さて、単位的環の一般論の定理として『元の数が有限の整域は体である』がある。この証明は次の通り。整域 $R$ の0でない任意の元を $a$ とする。 $a$ を掛けるという $R$ から $R$ への写像を $f$ とする( $f(x)=ax$ )。このとき $f$ は単射となる。
$\because f(x)=f(y) \Rightarrow ax=ay \Rightarrow a(x-y)=0 \Rightarrow x=y$
最後の矢印は $R$ が整域だからである。一方、元の数が有限なので単射は全射となり、 $f$ の像の中には1があるから、その原像は $a$ の逆元を与えることになる。すなわち 0以外の元の逆元が存在するから、 $R$ は体である。

もう、仕掛けがわかったのではないだろうか。定義とこれらの結果を繋げるだけである。

イデアル $A$ が素イデアル⇒商環 $\mathcal{O}_{K(\sqrt{m})}/A$ が整域

商環 $\mathcal{O}_{K(\sqrt{m})}/A$ は整域かつ有限　⇒ 　商環 $\mathcal{O}_{K(\sqrt{m})}/A$ は体　⇒　イデアル $A$ は極大イデアル。□

しかし、この証明だと素イデアルについて何も情報が得られないのが難点である。そこで底本の論法を使いつつ、別証明を行ってみる。底本 p.288の『素イデアル $P$ に含まれる最小の正の整数を $p$ とすれば、 $p$ は素数である』がキーとなる。先の注意にあるようにここでの素イデアルは極大イデアルのことだが、証明を反省すると使っているのは定理5.13 つまり普通の素イデアルの定義であるため、このステートメントはそっくり普通の素イデアルと読み替えても成立している。この事実とイデアルの構造定理を組み合わせると、

＜素イデアルの構造定理＞
素イデアルを $P$ とすると

$P=[p,b+\omega]$ ここに $p,b\in \mathbf{Z}$ , $p>0, b>0$
あるいは $P=(p)$
このとき $p$ は $A$ に含まれる最小の正の有理整数で素数である。

が得られる。 $c$ がどこかへいってしまったが、 $c\mid p$ から $c=p$ か $c=1$ 。もし $c=p$ のとき $c\mid b$ だったので、結局 $b$ も $p$ で割れることになり、それは結局イデアルとしては $P=(p)$ となる。ここで注意だが、最初に素イデアル $P$ ありきなので、仮に勝手に $p,b$ を与えても $[p,b+\omega]$ が素イデアルになっている保証はない。そもそもイデアルになっているかもアヤシイのであって、この点に関しては底本p.280の[問題2]に解答があり、 $[p,b+\omega]$ がイデアルであることの必要十分条件は、 $p\mid N(b+\omega)$ である。実はこの条件は非常に重要で、以下に述べるように素イデアルを求める計算はほぼこれに尽きてしまうのである。この形のイデアルに関してもう一つ重要なのはそのノルムであり、底本p.284 定理5.9により $N([p,b+\omega])=p$ となる。

さて、素イデアル $P$ のノルムはどうなるだろうか。上記の素イデアルの構造定理によると、 $P=[p,b+\omega]$ 型のとき $N(P)=p$ 、または $P=(p)$ 型のとき $N(P)=p^2$ の2つがあることがわかる。別の論法としては、 $P$ はそれに含まれる最小の正の有理整数を $p$ とするとき、 $p$ は素数で $(p) \subset P$ 。するとイデアル $Q$ が存在して、 $(p)=PQ$ となるが、両辺のノルムをとることで $p^2=N(P)N(Q)$ となる。すると可能性はもう $N(P)=p$ か $N(P)=p^2$ しかないことになる。前者だと必然的に $Q=P'$ 、後者だと $N(Q)=1$ から $Q=(1)$ となり、 $P=(p)$ となっている。ところで $N(P)=p$ のケースは実は自動的に $P$ が極大イデアルとなる。なぜなら、 $P\subset A$ からイデアル $B$ が存在して、 $P=AB$ となるが、両辺のノルムをとると $N(P)=p=N(A)N(B)$ となり、 $N(A)=1$ か $N(B)=1$ のどちらかが成立してしまい、前者なら $A=(1)$ 、後者なら $B=(1)$ すなわち $A=P$ となる。よって極大イデアルかどうか問題になるのは $P=(p)$ という形の素イデアルである。ここで $(p)$ が素イデアルかどうかは別にして、 $(p)$ を含む真に大きなイデアル $A\ne (1)$ を考えてみよう。もし $A$ が $p$ と素な有理整数を含むと結局１を含むことになるので $A=(1)$ となってしまう。このため、 $A$ が含む正の有理整数で最小のものは同じく $p$ である。すると素イデアルの構造定理とまったく同じ議論で、 $(p)$ より真に大きいイデアルとしては $A=[p,b+\omega]$ の形しかないことがわかる。しかも、このイデアルが存在すればそのノルムは $p$ であることから極大イデアルとなる。かつ $(p)=AA'$ と分解する。この分解が存在すると $(p)$ は素イデアルではありえないことになる。それは $AA'\subset (p)$ より $A \subset (p)$ または $A' \subset (p)$ だが、 $A,A'$ が極大イデアルであるため、 $A=(p)$ または $A'=(p)$ または $(p)=(1)$ となるが、いずれも矛盾となるからである。つまり、 $P$ が素イデアルならそれを含む自明でないイデアルは存在しない、すなわち極大イデアルなのである。

まとめてみよう。整数環 $\mathcal{O}_{K(\sqrt{m})}$ の((0)を除く)素イデアル $P$ は
i) $P=[p,b+\omega]$ 型のイデアルであり、その存在の必要十分条件は $p\mid N(b+\omega)$ であること。

ii) $P=(p)$ 型のイデアルであり、その存在の必要十分条件は $P=[p,b+\omega]$ 型のイデアルが存在しないこと、つまり、 $p\mid N(b+\omega)$ がどんな $b$ に対しても成立しないこと。

となる。次回は本シリーズの（たぶん）最終回、計算編である。

（追記）
記事を書き終えてから、素イデアルが極大イデアルになることはもっと簡単に示せることに気づいた。

必要な道具は、『任意のイデアルは有限個の極大イデアルの積に分解できる』だけである。素イデアルが有限個の極大イデアルの積に分解されてしまうなら、素イデアルの定義を繰り返し使うことでその極大イデアルのどれかと一致することがわかるからである。しかし『任意のイデアルは有限個の極大イデアルの積に分解できる』は底本p.287 定理5.12にさらっと書かれているが、包含関係と整除関係が同値であること（対象が極大イデアルでないときには少なくとも一つの極大イデアルが存在して、それで整除されること）、イデアルのノルムが定義されて有限であること（どこかで分解が止まること）の2つが効いているようである。