■ - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

[数論]高木貞治『初等整数論講義第二版』第五章ノートその４(ハマり編)

　§47の問題を続ける。[問題3]の注意でめちゃくちゃハマった。

[問題3]　 $q_1\equiv q_2 \equiv 3 \pmod{4}$ とすれば、二次体 $K(\sqrt{q_1 q_2})$ において、 $(q_1)=Q_1^2,\ (q_2)=Q_2^2$ とするとき、 $Q_1$ も $Q_2$ も単項イデアルである。

[解]　 $K(\sqrt{q_1 q_2})$ の基本単数を $\epsilon$ とすると、[問題1]より $N(\epsilon)=1$ . ところで $q_1 q_2 \equiv 1 \pmod{4}$ なので、判別式 $d=q_1 q_2$ である。そこで[問題2]より、少なくとも $Q_1$ , $Q_2$ のどちらかは単項イデアルとなる。
　 $Q_1 Q_2=(\sqrt{q_1 q_2})$ を示そう。 $(\sqrt{q_1 q_2})(\sqrt{q_1 q_2})=(q_1) (q_2)=Q_1^2 Q_2^2$ なので、このことから $(\sqrt{q_1 q_2})$ を素イデアル分解したときには $Q_1 Q_2$ 以外の組み合わせがないことがわかる。
　イデアルに単項イデアルを積した結果が単項イデアルなら、もともとのイデアルが単項イデアルであることは前回の[問題2]での同じ議論が使えるため、結局 $Q_1$ , $Q_2$ の両方とも単項イデアルということになる□

[注意]　 $Q_1=(\kappa_1),\ Q_2=(\kappa_2)$ とすると $Q_1 Q_2=(\kappa_1 \kappa_2)=(\sqrt{q_1 q_2})$ . [問題2]での「整域の2つの単項イデアルが等しいとき、その生成元は単数の差でしかない」を使うと $\kappa_1 \kappa_2=\eta \sqrt{q_1 q_2}$ で、 $\eta$ は単数かつ $N(\eta)=1$ （∵ $-1$ でないのは基本単数のノルムが $1$ だから)となる。両辺のノルムを計算して、 $N(\kappa_1 \kappa_2)=N(\eta)N(\sqrt{q_1 q_2})=-q_1 q_2$ .
　次の $q_1 x^2-q_2 y^2=\pm 1$ がどこから湧いたのか説明はないが、いったん解の存在を認めるとして、もし右辺の $\pm$ の両方に解があったとする。

$q_1 x^2-q_2 y^2= 1,\ q_1 z^2-q_2 w^2= -1$

最初の式に $q_1$ を掛けて $(q_1 x)^2-q_1 q_2 y^2=N(q_1x+y\sqrt{q_1 q_2})=q_1$ を得るので、 $q_1 x+y\sqrt{q_1 q_2}=\eta_1 \kappa_1,\ N(\eta_1)=1$ となる。二番目の式に $q_2$ を掛けて同様にすると、 $q_2 w+z\sqrt{q_1 q_2}=\eta_2 \kappa_2,\ N(\eta_2)=1$ . これらの辺々を掛けて $(q_1 x+y\sqrt{q_1 q_2})(q_2 w+z\sqrt{q_1 q_2})=\eta_1 \eta_2 \kappa_1 \kappa_2$ . 両辺のノルムを計算すると $q_1 q_2 = N(\kappa_1 \kappa_2)$ となるが、この結果は[注意]の最初の結果に反している。ということで残るは『必ず解を有する』の部分である。ここで大ハマりである。
　さて、 $\kappa_1$ 等の存在は保証されているので、 $\kappa_1=\frac{x+y\sqrt{q_1 q_2}}{2}$ とすると（ここが重要なポイント。 $m=q_1 q_2 \equiv 1 \pmod{4}$ を忘れてはいけない） $\pm q_1=N(\kappa_1)=\frac{x^2-q_1 q_2 y^2}{4}$ より、 $q_1 \mid x$ なので、 $q_1$ を一つ外したものを改めて $x$ として、全体を $q_1$ で割って、 $4$ を払えば、 $q_1 x^2- q_2 y^2 = \pm 4$ の整数解の存在は保証されている。ああ、高木先生、勘違いされましたね。それとも $1$ と $4$ のミスプリかな、ちょっと似てるし。と勝手に納得して $q_1 x^2- q_2 y^2 = \pm 1$ に解がない場合という反例を探し始めたのである。

ちなみに $q_1 x^2-q_2 y^2= \pm 1$ の有理整数解があるとすると、これからモ変形:

$\frac{q_1 x \sqrt{q_1 q_2}/q_1 +q_2 y}{y \sqrt{q_1 q_2}/q_1 +x}=\frac{q_1 x \sqrt{q_1 q_2} +q_1 q_2 y}{y \sqrt{q_1 q_2} +x q_1}$
$=\frac{(q_1 x \sqrt{q_1 q_2} +q_1 q_2 y)(-y \sqrt{q_1 q_2} +x q_1)}{-y^2 q_1 q_2 +x^2 q_1^2}=\frac{q_1 (x \sqrt{q_1 q_2} + q_2 y)(-y \sqrt{q_1 q_2} +x q_1)}{\pm q_1}$
$=\pm ( -xy q_1 q_2 + q_2 xy q_1 q_2+ (q_1x^2-q_2 y^2) \sqrt{q_1 q_2})=\sqrt{q_1 q_2}$
ができるので、 $\sqrt{q_1 q_2}$ と $\sqrt{q_1 q_2}/q_1$ は対等となる。逆をたどることもできるので、この２つの条件は実は同値となっている。そこで $\sqrt{q_1 q_2}$ と $\sqrt{q_1 q_2}/q_1$ が対等とならないような $q_1,\ q_2$ を探そうというわけである。

さあ、ちょこっと計算の出番である。二次の無理数を含む分数を連分数展開するpythonプログラムを作ってみた。計算精度を気にしなくてもいいように形式計算にしてある。

import math
from fractions import Fraction

# x = a+b √m を連分数展開する

a = Fraction(0,1)
b = Fraction(1,1)
m = 21

def value(x):
    return x[0]+x[1]*math.sqrt(m)

x = [a,b] # x ~ a+b*√m の表現

print('{}+{}*sqrt({})={}\n'.format(a,b,m,value(x)))

for i in range(100):
    x_int = math.floor(value(x))

    #x ~ 1\(x-x_int)
    x = [x[0]-x_int,x[1]]
    n = x[0]*x[0]-m*x[1]*x[1]
    x = [x[0]/n,-x[1]/n]
    print('{}, {}+{}* √{}'.format(x_int,x[0],x[1],m))

　次の[例]が $m=3\times 7=21$ なので $a,\ b,\ m$ をいじりながら計算させてみる。
まず、 $\sqrt{21}$ .

0+1* √21=4.58257569495584

4, 4/5+1/5* √21
1, 1/4+1/4* √21
1, 1+1/3* √21
2, 3/4+1/4* √21
1, 1/5+1/5* √21
1, 4+1* √21
8, 4/5+1/5* √21
1, 1/4+1/4* √21
1, 1+1/3* √21
2, 3/4+1/4* √21
1, 1/5+1/5* √21
1, 4+1* √21
8, 4/5+1/5* √21
...

左に並んでいる数字は連分数展開の数字である。

$\sqrt{21}=[4,1,1,2,1,1,8,1,1,\dots]$
となる。右の表記はそこまでの展開の終項であって、たとえば
$\sqrt{21}=4+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1+\sqrt{21}/3}$
となる。

そして $\sqrt{21}/3$ .

0+1/3* √21=1.5275252316519465

1, 3/4+1/4* √21
1, 1/5+1/5* √21
1, 4+1* √21
8, 4/5+1/5* √21
1, 1/4+1/4* √21
1, 1+1/3* √21
2, 3/4+1/4* √21
1, 1/5+1/5* √21
1, 4+1* √21
8, 4/5+1/5* √21
1, 1/4+1/4* √21
1, 1+1/3* √21
2, 3/4+1/4* √21
...

ありゃ？　対等ですな。 $\omega=\frac{3+\sqrt{21}}{4}$ を媒介にすると

$\sqrt{21}=4+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{\omega}=\frac{23\omega+9}{5\omega+2}$ (これは手計算）同様に
$\sqrt{21}/3=1+\frac{1}{\omega}=\frac{\omega+1}{\omega}$

この２つの表式から $\sqrt{21}/3$ から $\sqrt{21}$ のモ変形は、

$\begin{pmatrix} 23 & 9 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}^{-1}=\begin{pmatrix} 9 & 14 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$
となる。下2つの数字から直ちに $x=3,\ y=2$ が読み取れて、確かに $3\cdot 3^2-7\cdot 2^2 = -1$ と $q_1 x^2-q_2 y^2= \pm 1$ の解になっている。たまたま？
　しかし、その後いろいろと $q_1,\ q_2$ を取り換えて実験してみたが、いずれも $\sqrt{q_1 q_2}$ と $\sqrt{q_1 q_2}/q_1$ は対等という判定が出てしまう。一般的に二次の無理数を整数で割ったからと言って対等になるわけがない。実際、条件の $q_1\equiv q_2 \equiv 3 \pmod{4}$ を外せば反例はある。この実験結果は $q_1 x^2-q_2 y^2= \pm 1$ の解の存在は、先生の思い違いでもミスプリでもなさそうだということを示している。
　しかし、第３章の連分数を使ったGaussの解法も反例や具体例の計算ならともかく、モ変形の存在と不定方程式の解の存在は同値であることがわかるだけで無力である。さあ、思わぬところでハマってしまったぞ...　次回、解決編にこうご期待！

[数論]高木貞治『初等整数論講義 第二版』第五章ノート その４(ハマり編)

[数論]高木貞治『初等整数論講義第二版』第五章ノートその４(ハマり編)