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[数論]高木貞治『初等整数論講義 第二版』第五章ノート その５(しょぼっと解決編)

　§47の[問題3]の[注意]のハマりを解決しよう。

[問題3]　とすれば、二次体において、とするとき、もも単項イデアルである。

[注意ハマりポイント]
ののどちらか片方のみに必ず有理整数解がある。『どちらか片方のみ』部分は解決済みである。

　さて、前回にやったようにとする。ここでは奇偶が一致するが、これがともに偶数ならを消せて、改めて とする。こうなれば解の存在問題はすでに解決している。両辺のノルムを計算すると、 だが、がわかるので、とおけば、. 両辺をで割れば、 となり解を得る。でも同じなので、いずれかのが消えていればよい。しかし、単純にはこうなっていないことがあるのは次の[例]を見ればわかる。
　ここで逆に考えてみよう。の有理整数解があったとしよう。両辺にを掛けて、左辺と右辺を分解すると

この表示から素イデアル分解を考えるととなっているしかない。単項イデアルの生成元の関係から、



となっているはずである。この右辺をにらむとが掛かることで、のが消える（の元にできる）ということになっている。でも同様の議論ができるので、どちらかで単元を掛けてを消すことができれば、問題解決となる。しかし、一般の単数（基本単数ですら）の表示がわかるというわけでもなく、方法論としては実行困難である。もっと具体的な何かが必要なのである。

　万策尽きたかと思われたが、ヒントは[問題2]の前半の議論にあった。基本単数をとしよう(ここに は奇偶が一致している)。もし、が偶数なら で、もちろん だが、はまたはと同伴であったから、この場合は先の議論で解が作れるので解決である。次にが奇数としてみよう。このときもが消えていないのでそのままではダメである。しかし、ここで試しに既知の単元であるをに掛けて何が起こるか見てみよう。

おや？ の前の係数 はで割れてしまうぞ！ 前の部分も と変形しておいて、を思い出せば、で割れることがわかる。なのである。おっとこれで全部の場合で解けてしまった。

　具体的に次の[例]でみてみよう。基本単数の表示をいったん認めておこう。は の方のの生成元である。から、確かにの有理整数解 が得られている。
　基本単数の具体的表示からの解が簡単な計算で求められるのである。前回の連分数計算の苦労は何だったんだ...まあ、楽しかったけど。