■ - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

[数論]高木貞治『初等整数論講義第二版』第五章ノートその７

　§47の[問題]を続けよう。もうこのセクションの山場は過ぎてしまったようだ。

[問題４]　 $q\equiv 3\pmod{4}$ とすれば、 $K(\sqrt{2q})$ においても、 $2=L^2,\ q=Q^2$ とするとき、 $L$ も $Q$ も単項イデアルである。

[解]　問題３と同様とあるが、 $q\equiv 3\pmod{4}$ なので問題１から基本単数のノルムは $1$ なので問題２が適用でき、あとは問題３と同様となる。

[問題５]　 $q\equiv 1\pmod{4}$ とすれば、 $K(\sqrt{p})$ における基本単数のノルムは $-1$ である。

[解]　問題１は必要条件だったが、 $m$ の素因子が一つだけの時は逆が成立するということ。もし、基本単数のノルムが $1$ なら問題３から、 $J\neq (\sqrt{p}),\ J=J'$ なる原始イデアルが存在するが、問題２の[注意]から $J=J'$ のような原始イデアルは $(\sqrt{p})$ しかないので矛盾となる。

[例] 気になって、先の連分数展開で最初にノルムが $-1,1$ に一致するものが基本単数を与える（マイナスつけたり逆数にしたりはする）という偶然が成立しているか確かめてみた。

$K(\sqrt{5})$ :

ω=1/2+1/2*√5=1.618033988749895
ω'=1/2-1/2*√5=-0.6180339887498949

1, 1/2+1/2*√5, x/y=1, x-yω=1/2+ -1/2*√5, N(x-yω)=-1
1, 1/2+1/2*√5, x/y=2, x-yω=3/2+ -1/2*√5, N(x-yω)=1
1, 1/2+1/2*√5, x/y=3/2, x-yω=2+ -1*√5, N(x-yω)=-1
1, 1/2+1/2*√5, x/y=5/3, x-yω=7/2+ -3/2*√5, N(x-yω)=1
...

$-\frac{2}{1-\sqrt{5}}=\frac{-2(1+\sqrt{5}}{-4}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ . 成立

$K(\sqrt{13})$ :

ω=1/2+1/2*√13=2.302775637731995
ω'=1/2-1/2*√13=-1.3027756377319946

2, 3/2+1/2*√13, x/y=2, x-yω=3/2+ -1/2*√13, N(x-yω)=-1
3, 3/2+1/2*√13, x/y=7/3, x-yω=11/2+ -3/2*√13, N(x-yω)=1
3, 3/2+1/2*√13, x/y=23/10, x-yω=18+ -5*√13, N(x-yω)=-1
3, 3/2+1/2*√13, x/y=76/33, x-yω=119/2+ -33/2*√13, N(x-yω)=1
...

$-\frac{2}{3-\sqrt{13}}=\frac{-2(3+\sqrt{13}}{-4}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ . 成立。

$K(\sqrt{17})$ :

ω=1/2+1/2*√17=2.5615528128088303
ω'=1/2-1/2*√17=-1.5615528128088303

2, 3/4+1/4*√17, x/y=2, x-yω=3/2+ -1/2*√17, N(x-yω)=-2
1, 1/4+1/4*√17, x/y=3, x-yω=5/2+ -1/2*√17, N(x-yω)=2
1, 3/2+1/2*√17, x/y=5/2, x-yω=4+ -1*√17, N(x-yω)=-1
3, 3/4+1/4*√17, x/y=18/7, x-yω=29/2+ -7/2*√17, N(x-yω)=2
1, 1/4+1/4*√17, x/y=23/9, x-yω=37/2+ -9/2*√17, N(x-yω)=-2
...

$-\frac{1}{4-\sqrt{17}}=\frac{-(4+\sqrt{17}}{-1}=4+\sqrt{17}$ . 成立。

ついでに[問題６]と[問題７]の例でも確認する。

$K(\sqrt{10})$ :

ω=0+1*√10=3.1622776601683795
ω'=0-1*√10=-3.1622776601683795

3, 3+1*√10, x/y=3, x-yω=3+ -1*√10, N(x-yω)=-1
6, 3+1*√10, x/y=19/6, x-yω=19+ -6*√10, N(x-yω)=1
6, 3+1*√10, x/y=117/37, x-yω=117+ -37*√10, N(x-yω)=-1
6, 3+1*√10, x/y=721/228, x-yω=721+ -228*√10, N(x-yω)=1
...

$-\frac{1}{3-\sqrt{10}}=\frac{-(3+\sqrt{10}}{-1}=3+\sqrt{10}$ . 成立。

$K(\sqrt{26})$ :

ω=0+1*√26=5.0990195135927845
ω'=0-1*√26=-5.0990195135927845

5, 5+1*√26, x/y=5, x-yω=5+ -1*√26, N(x-yω)=-1
10, 5+1*√26, x/y=51/10, x-yω=51+ -10*√26, N(x-yω)=1
10, 5+1*√26, x/y=515/101, x-yω=515+ -101*√26, N(x-yω)=-1
10, 5+1*√26, x/y=5201/1020, x-yω=5201+ -1020*√26, N(x-yω)=1
...

$-\frac{1}{5-\sqrt{26}}=\frac{-(5+\sqrt{26}}{-1}=5+\sqrt{26}$ . 成立。

$K(\sqrt{65})$ :

ω=1/2+1/2*√65=4.531128874149275
ω'=1/2-1/2*√65=-3.5311288741492746

4, 7/8+1/8*√65, x/y=4, x-yω=7/2+ -1/2*√65, N(x-yω)=-4
1, 1/8+1/8*√65, x/y=5, x-yω=9/2+ -1/2*√65, N(x-yω)=4
1, 7/2+1/2*√65, x/y=9/2, x-yω=8+ -1*√65, N(x-yω)=-1
7, 7/8+1/8*√65, x/y=68/15, x-yω=121/2+ -15/2*√65, N(x-yω)=4
1, 1/8+1/8*√65, x/y=77/17, x-yω=137/2+ -17/2*√65, N(x-yω)=-4
1, 7/2+1/2*√65, x/y=145/32, x-yω=129+ -16*√65, N(x-yω)=1
...

$-\frac{1}{8-\sqrt{65}}=\frac{-(8+\sqrt{65}}{-1}=8+\sqrt{65}$ . 成立。

$K(\sqrt{85})$ :

ω=1/2+1/2*√85=5.1097722286464435
ω'=1/2-1/2*√85=-4.1097722286464435

5, 9/2+1/2*√85, x/y=5, x-yω=9/2+ -1/2*√85, N(x-yω)=-1
9, 9/2+1/2*√85, x/y=46/9, x-yω=83/2+ -9/2*√85, N(x-yω)=1
9, 9/2+1/2*√85, x/y=419/82, x-yω=378+ -41*√85, N(x-yω)=-1
9, 9/2+1/2*√85, x/y=3817/747, x-yω=6887/2+ -747/2*√85, N(x-yω)=1
...

$-\frac{2}{9-\sqrt{85}}=\frac{-2(9+\sqrt{85}}{-4}=\frac{9+\sqrt{85}}{2}$ . 成立。

　なにやら偶然ではなさそうな気配。基本単数のベキに $\pm$ の符号をつけたものがすべての単数になるのだが、ベキの展開の $\sqrt{m}$ の前の係数の絶対値はベキの絶対値が大きくるなると常に増加するので、少なくとも連分数展開近似で最初に出てくるものでなければならないのは理解できる（連分数近似も後になるほど分母 $y$ が大きくなる）。が、謎は基本単数が連分数展開による近似に必ず出現する点である。ちなみにPell方程式が連分数で解けるというのはよく知られているので、これは新発見というわけではない。ただ、基本単数≒最小解が出せるというのはすぐには明らかというわけではない。

　ところで、 $\sqrt{61}$ のときのPell方程式の最小解が $29718+3805\sqrt{61}$ とちょっと数字が大きいというのが調べものの途中でわかったので連分数でどうなっているか見てみたくなった。 $61\equiv 1\pmod{4}$ なのでとりあえず、 $\frac{1+\sqrt{61}}{2}$ で試してみる。

ω=1/2+1/2*√61=4.405124837953327
ω'=1/2-1/2*√61=-3.405124837953327

4, 7/6+1/6*√61, x/y=4, x-yω=7/2+ -1/2*√61, N(x-yω)=-3
2, 5/6+1/6*√61, x/y=9/2, x-yω=8+ -1*√61, N(x-yω)=3
2, 7/2+1/2*√61, x/y=22/5, x-yω=39/2+ -5/2*√61, N(x-yω)=-1
7, 7/6+1/6*√61, x/y=163/37, x-yω=289/2+ -37/2*√61, N(x-yω)=3
2, 5/6+1/6*√61, x/y=348/79, x-yω=617/2+ -79/2*√61, N(x-yω)=-3
...

$-\frac{2}{39-5\sqrt{61}}=\frac{39+5\sqrt{61}}{-4}=\frac{39+5\sqrt{61}}{2}$ .
おや？これが基本単数かどうかはわからないが、Pell方程式の最小解がでてくるわけではないようである（まあ、 $\pm 1$ と $\pm 4$ の差があるわけだが）。この単数をを $3$ 乗すると $(\frac{39+5\sqrt{61}}{2})^3=\frac{1523+195\sqrt{61}}{2}\frac{39+5\sqrt{61}}{2}=29718+3805\sqrt{61}$ と先のPell方程式の解が出てくる。たまたま分母の $2$ が消えたのでこうなったという感である。なんかこれに似たような話は前にもありましたね。
　次に基本単数という話からは外れるが、 $\sqrt{61}$ で試してみると：

ω=0+1*√61=7.810249675906654
ω'=0-1*√61=-7.810249675906654

7, 7/12+1/12*√61, x/y=7, x-yω=7+ -1*√61, N(x-yω)=-12
1, 5/3+1/3*√61, x/y=8, x-yω=8+ -1*√61, N(x-yω)=3
4, 7/4+1/4*√61, x/y=39/5, x-yω=39+ -5*√61, N(x-yω)=-4
3, 5/9+1/9*√61, x/y=125/16, x-yω=125+ -16*√61, N(x-yω)=9
1, 4/5+1/5*√61, x/y=164/21, x-yω=164+ -21*√61, N(x-yω)=-5
2, 6/5+1/5*√61, x/y=453/58, x-yω=453+ -58*√61, N(x-yω)=5
2, 4/9+1/9*√61, x/y=1070/137, x-yω=1070+ -137*√61, N(x-yω)=-9
1, 5/4+1/4*√61, x/y=1523/195, x-yω=1523+ -195*√61, N(x-yω)=4
3, 7/3+1/3*√61, x/y=5639/722, x-yω=5639+ -722*√61, N(x-yω)=-3
4, 5/12+1/12*√61, x/y=24079/3083, x-yω=24079+ -3083*√61, N(x-yω)=12
1, 7+1*√61, x/y=29718/3805, x-yω=29718+ -3805*√61, N(x-yω)=-1
14, 7/12+1/12*√61, x/y=440131/56353, x-yω=440131+ -56353*√61, N(x-yω)=12
1, 5/3+1/3*√61, x/y=469849/60158, x-yω=469849+ -60158*√61, N(x-yω)=-3
...

お、確かに11行目に最小解がいますね。

　さて、基本単数やPell方程式の最小解が連分数展開近似で求められるということの根拠になっているのはどうやら次の定理である。

[定理(Lagrange)]
　 $\alpha > 0$ を無理数とし、互いに素な正の有理整数 $p,q$ が存在して、

$\mid \alpha - \frac{p}{q}\mid < \frac{1}{2q^2}$

を満たすなら、 $\frac{p}{q}$ は $\alpha$ の連分数展開での近似に現れる。

この定理はこの形ではテキストには載っていないが、p.144の[定理2.8]から導くことができる。
＜証明＞
　 $p/q$ が連分数展開の近似でないと仮定する。 $q_n \le q < q_{n+1}$ なるように $n$ をとっておく。定理2.8より、 $\mid \alpha q_n-p_n \mid \le \mid \alpha q - p \mid < \frac{1}{2q}$ (∵ $\mid \alpha q_n-p_n \mid$ が最小近似だから). これより $\mid \alpha-p_n/q_n \mid < \frac{1}{2qq_n}$ . また一方で、 $p/q \neq p_n/q_n$ とすると $\mid p q_n-q p_n \mid \ge 1$ （∵左辺の中身は $0$ でない整数だから）。これらより、

$\frac{1}{q q_n}\le \frac{\mid p q_n-q p_n \mid}{q q_n}=\mid p/q - p_n/q_n \mid \le \mid p/q - \alpha \mid + \mid \alpha - p_n/q_n \mid < \frac{1}{2q}+\frac{1}{2q q_n}$
より $q < \frac{q_n}{2}+\frac{q}{2}$ . よって $q < q_n$ が出て矛盾である□

　いくつか計算した例からもわかるようにすべての単数が連分数展開の近似ででてくるわけではない。定理からも $\omega$ の前の係数がマイナスになっているものしか出てこないことがわかるだろう。

　さて、 $m \equiv 2,3 \pmod{4}$ のケースから。いま述べた理由で、 $x,y$ を正の有理整数として $x-y\sqrt{m}$ を単数とする。 $\mid x/y-\sqrt{m} \mid = \frac{1}{y(x+y\sqrt{m})}$ . 一方、もし $x < y$ なら $\pm 1=x^2-my^2 < y^2-my^2=y^2(1-m)$ は $y=1,\ m=2$ しか成立せず、 $x=0$ . $\sqrt{2}$ は単数でないので矛盾。よって $x \ge y$ だが、 $\frac{1}{y\mid (x+y\sqrt{m})} < \frac{1}{y(y+y)}=\frac{1}{2y^2}$ . と先の定理の仮定が満たされることになる（pell方程式もこれに同じ）。
　 $m \equiv 1 \pmod{4}$ のときは $x,y$ を正の有理整数として単数 $x-y\omega$ を考える。 $\omega' < 0$ なので $-y\omega' > 0$ となるので同様にできる。 $\mid x/y - \omega \mid = \frac{1}{y(x+\mid y\omega' \mid)}$ となる。ただし、 $x \ge y$ はよいが、 $\mid \omega'\mid \ge 1$ は、 $m < 9$ つまり $m=5$ では成立していないのでこの時だけ例外として個別に確認する必要がある（計算としては先に確認した）。
　 $x+y\omega$ の形の単数の場合は、その共役 $x+y\omega'$ も単数で、 $x+y\omega'=x+y(1-\omega)=x+y - y\omega$ と変形できるので、先のケースに還元できる。基本単数はつねにこの形（∵もし $\sqrt{m}$ の前の係数が負なら $1 < \epsilon < \epsilon'$ で $\epsilon \epsilon'=1$ に矛盾してしまう）なので、どれもその共役が連分数展開の近似としてでてくる。確かにいままでの計算でもそのようになっていた。この世に偶然なんてない。あるのは必然だけ？

[数論]高木貞治『初等整数論講義 第二版』第五章ノート その７

[数論]高木貞治『初等整数論講義第二版』第五章ノートその７