位数60の単純群　その１ - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

前にBurnsideが著作のなかで位数60の群の分類はいい演習になると書いていることを紹介したが，私が探した範囲では，完全な記述はRed cat氏の論文以外には見たことがない．再度ここに紹介しておく．"位数120までの群の分類"

さて，位数60の群は全部で13ある．この中で単純群であるものは，5次の交代群 $A_5$ のみである．実はこれが非可換単純群で最小位数のものとなっている．それ以外は自明でない正規部分群を持つわけであるが，実は次の命題が成立しており，正規部分群として $C_5$ を持っている．

命題1
$G$ を位数60の群とする．このとき，
$G$ が単純でない　 $\Leftrightarrow$ $G$ の5-Sylow部分群が正規部分群

左向きの矢印は自明であるが，右向きは証明が必要である．
Sylowの定理から5-Sylow部分群の数 $n_5$ は1か6しかありえないので，『 $G$ が単純 $\Leftrightarrow$ $n_5 > 1$ 』という形の上と同値な命題を群論の演習問題としてよく見かける．
さて， $C_5$ という正規部分群が存在すると，その指数である12は5と素であるため，Schur-Zassenhausの定理より完全系列 $1\to C_5 \to G \to G/C_5 \to 1$ は分裂し，群の分類は $C_5$ の $H=G/C_5$ による半直積を調べる問題に帰着される（残念ながら半直積のTex記号\rtimesがでませんねぇ）．位数12の群 $H$ は5種類あることを既知とすれば，それぞれについて準同型 $H \to Aut(C_5)$ を調べることで，多少の手間はかかっても原理的には位数60の群の分類は可能となる．

命題１の証明の前に次の補題を示す．

補題
1) $G$ を位数15の群とする．このとき， $G \simeq C_{15}$ ．
2) $G$ を位数30の群とする．このとき， $G$ の5-Sylow部分群は正規である．
3) $G$ を位数12の群とする．このとき， $G$ の3-Sylow部分群または2-Sylow部分群は正規である．

＜証明＞
1) Sylowの定理より 5-Sylow群の個数は1,6,...であるが6個以上は群の位数を超えてしまうため，1しかありえない．また，3-Sylow群も同様に1個しか存在しない．これら2つ正規部分群の共通部分は単位元のみであるから $G\simeq C_5\times C_3 \simeq C_{15}$ .

2) $G$ の2-Sylow部分群の1でない元を $\sigma$ とする．左正規表現 $G\to S_{30}$ を考えたとき， $\sigma$ の像は $S_{30}$ での15個の互換の積となる（30個の元を2個づつ入れ替えるため）． $\mathit{sign}:S_{30}\to \{1,-1\}$ を置換の奇偶を与える準同型とすると，2つの準同型つなげた $G\to S_{30}\to \{1,-1\}$ は全射となり，その核は指数2の正規部分群となる．つまり， $G$ は位数15の正規部分群を持つが，補題の1)より，それは $C_{15}$ に同型で，その5-Sylow部分群は正規. 正規部分群のSylow部分群がその正規部分群の中で正規なら，もともと正規部分群となる．（ $G$ のp-Sylow部分群は自己同型で移りあうが，そのひとつが正規部分群に含まれているなら，全てのp-Sylow部分群はその正規部分群の中に含まれていなければならないため．）

3) Sylowの定理より $G$ の3-Sylow部分群の個数は1か4である．1なら3-Sylow部分群が正規となるので，4とする．このとき4つの3-Sylow部分群はどの2つも交わりが1しかないため， $G$ は $4 \times 2=8$ 個の位数3の元を持っている．すると $G$ の元の残りは12-8-1=3個であり，2-Sylow部分群の数は1となる．証明終わり．

上の2)の証明方法はもう少し一般化できて，位数が $2q$ で $q$ は奇数という形の群はすべて位数 $q$ の正規部分群を持つことになる．

＜命題１の証明＞
$n_5>1$ とする． $G$ が単純でないとすると自明でない正規部分群 $N$ が存在する． $N$ の位数は補題より，30でも15でも(もちろん5）でもありえない．残る可能性は2,3,4,6,10,12,20であるが，このうち，10,20についてはSylowの定理からその5-Sylow部分群が正規となるため，補題2)と同じ論法で仮定 $n_5>1$ に反する． $N$ の位数が5の倍数でないケースのみが問題となる．その場合，商群 $G/N$ の位数は5の倍数であるから， $|G/N|=5,10,15,20,30$ となる．このうち $|G/N|=5$ を除けば， $G/N$ の5-Sylow群は今までに見たように自明でない正規部分群となり，自然写像 $G\to G/N$ での逆像 $N'$ は $G$ の自明でない正規部分群である．その指数は $[G:N']=[G/N:N'/N]$ であるから素因子5を含まず，すなわち $N'$ の位数が5の倍数ということになり，矛盾する．
残るは $|G/N|=5$ の場合であるが，このとき $N$ の位数は12で，補題の3)より，その3-Sylowか2-Sylowのどちらかは正規部分群となり，すでに完了した $|N|=3,4$ のケースとなるため，矛盾である．証明終わり．

さらに『 $G$ が単純 $\Leftrightarrow$ $n_5 > 1$ $\Leftrightarrow$ $G\simeq A_5$ 』が成り立つのであるが，これは次回にて．