演習問題

O'Brien論文の解読作業がもうちょっと先の方で停滞しているので，ちょっと別のネタを．
もともとFT定理本を読もうという目論見で，その準備と称して有限群論やら表現論やらの本を買い込んでは放置してあるのだが，その中で Alperin ＆ Bell 『Groups and Representations 』 Springer 1995 というのを最近読み始めている．その中でしょっぱなの第一章の章末問題に面白いのがあったので紹介したい．

問題
，， を1より大きい任意の3つの整数とする．


このとき有限群とその元,が存在して，，の位数が各々， ，となっているものが存在することを示せ．

勝手な3つの整数でこのような有限群とその元が存在するというのが面白い．有限群というところがミソでこれが無ければ，[tex:G=\]が答えの一つなので面白みがない．

たとえば としておくと、どんな大きなを取ってきても，それが位数2の元，の積 の位数となるようなものが存在するということである．なかなか不思議な感じがする．実は上の定義での場合はたまたま有限群になってしまう（それ以外のケースは大抵無限群となる）のであるが、もう少し幾何学的（？）な実現を考えてみた．


まず個の点を個ずつ、2列に並べる．列の点に順に番号を1からまで付けて，〜列と〜列としておく．並んでいる点 とを入れ替える置換をとし，ひとつずれた点と を入れ替える置換をとする（はと入れ替える）．するとの作用は、（左から作用させたとして）ダッシュなし列では1つ前へずらし、ダッシュ付き列では１つ後ろへずらす置換となるためその位数はとなる．


個の互換の2つの積がバケツリレーのようにつながり，2つの次巡回置換を生成している．
では演習問題の一般の場合はどうなるか？というわけであるが，実は私はまだこの問題解けていないのだ．次と次の巡回置換のそれぞれ個の複製から上のような構成の拡張でできそうな気がするのだが．．．いましばらく楽しめそうである．


話は少し変わるが，インターネット上には面白い有限単純群のデータベースがある．ATLAS
データの内容からすると専門家（と愛好家）向けと思われる．各有限単純群の Standard generators というところをつらつらとながめていると奇妙なことに気づく．データベースにある有限単純群はどれもこれもたったの2個の元から生成できるようだ（全部は確認していないが，すくなくとも散在型単純群ではそうなっている．なぜ2個なのかはよくわかっていないとどこかで読んだような記憶がある）． モンスター群のところを見ると，位数2と3の2つの元（それらの元の積の位数は29）から生成されるということであるから，これはつまりはモンスター群が[tex:G=\]という（無限）群の商群になっていることを意味する．一見つまらなく見えるがモンスター群のような巨大で複雑な構造を内包しているというわけである．演習問題侮りがたし．