演習問題その後

本業のほうで海外出張に出かけたりと忙しくてなかなか勉強は進んでいないが，ちょこちょことCGTの勉強などしている．今回はとりあえず前回の演習問題の考察である．問題を再掲する．

問題
，， を1より大きい任意の3つの整数とする．


このとき有限群とその元,が存在して，，の位数が各々， ，となっているものが存在することを示せ．

ずいぶんと悩んでいるのだが、まだ解けていない．実はこの問題の出典である Alperin ＆ Bell『Groups and Representations 』Springer 1995 の前書きにはこんなくだりがある．意訳すると，「演習問題の難易度はいろいろだ．中にはgraduate studentでは歯が立たない難問も入っているが難易度の表示はしてない．だって，君が数学の本当の問題に挑戦するときに難易度表示なんて無いからね．」とのこと．で、先の問題が果たしてこの難問なのかどうかであるが，同じ問題で悩んでいる人はいないかとWebを探してみると，なんとこれが見つかったのである．


sci.math というNewsgroupでまったく同じ問題を質問している人がいて，Derek Holt氏が回答しているものであった．ちなみに恐らくこのDerek Holt氏は，（私もつい最近購入してしまった）有名なCGTの本である

Handbook of Computational Group Theory (Discrete Mathematics and Its Applications)

の主著者であろう．
Holt氏の回答を意訳すると，「この問題を演習問題にするなんて驚いた．私もいい解答を探しているんだがまだ見つけていない．しかし，置換群の元としてなら解を見つけるのは困難じゃない．でも，最近 B.Suryという人がうまくいきそうなこんな解答を送ってくれた...」と以下Sury氏の解答案が示されている．置換群の元としての解答を私は探しているのだが，困難じゃないとのことでちょっと悔しいが，それでもHolt氏がいい解答だと思ってないところをみるとかなりでかい置換群の中で，計算機でごりごり求めたものなのかもしれない．


Sury氏の解答案とはこんな感じである．有限体を１の原始乗根を含むものとする．（たとえば、を割らない素数を選んでの円分拡大体をとる．この例はちょっと自信なし）．の元, を次のようにとる．

ここには１の原始乗根，は１の原始乗根とする．このとき簡単な計算から, の位数はそれぞれ,となっている．
ここでHolt氏いわく，の元の位数はそのトレースで決まってしまう．ここのあたりは詳しい説明は無いが，の元を三角行列化したときにでてくる対角要素の位数がもとの行列の位数であり，対角要素の積は１で和はトレースの値であるため、それらはにおける二次方程式の解として（存在すれば）唯一決まってしまう．の中には，１の原始乗根が含まれているため，すくなくとも一つは位数の持つような行列のトレースの値は存在する．一方、のトレースはであるから，でずらしてのトレースの値が，先ほどの１の原始乗根のトレースの値になるようにすれば，の位数をとできる．以上の結果をに落とし込めば，等々なので中ではの位数は，の位数は，の位数はとなり，問題の解となっている．


というようなことであるが，Holt氏の話のニュアンスからするとあまり満足されていない様子である．それはきっと有限体の１の原始乗根を具体的に計算するのが計算機的に難しいからではないかと思う．