位数16の群　その1 - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

調子にのって位数16にもチャレンジしてみる． $16=2^4$ なので，本当なら一生懸命やっていた p-group generation algorithmを使ってみたいところなのだが...
位数16の群の分類もまた Red cat氏の論文にばっちり書いてあるが，ここではcyclic extension theoremを使った手法について紹介してみたい。これはネットで流れている Wild氏の論文 "The Groups of Order Sixteen Made Easyに基づくものである．著者は違うがこの論文の姉妹編で一般の $p^4$ についてのもの"GROUPS OF ORDER p4 MADE LESS DIFFICULT"も発見した．こっちはまだ目を通していないのだが、楽しみは先にとっておこう。

さて，有限群 $G$ とその正規部分群 $N$ で， $G/N$ が巡回群 $C_n$ になっている場合， $G$ を $N$ の $C_n$ によるcyclic extensionと呼ぶ．ここで， $G/N$ の生成元になる $a \in G$ を選ぶと， $a^n=v \in N$ で， $a$ による $N$ 上の共役作用を $\tau \in Aut(N)$ とすると $\tau(v)=a^{-1}a^na=v$ ， $\tau^n=Int(v) \quad i.e. \forall x\in N,\quad \tau^n(x)=v^{-1}xv$ である．
extension typeを組 $(N,\quad n,\quad \tau,\quad v), \quad n\in \mathbb{N},\quad \tau \in Aut(N),\quad v\in N$ で条件 $\tau(v)=v,\quad \tau^n=Int(v)$ を満たすものとする．先に見たように cyclic extension が与えられると extension typeが得られる(データの詳細は $a$ のとり方に依存するためuniqueではない). cyclic extension theoremとはこの逆の主張である．

Cyclic Extension Theorem
extension typeが与えられると（そのデータを持つ）cyclic extension が定まる．

この定理の証明の詳細を述べることはしないが，集合 $N\times C_n$ に次のように積を定義すると，これがextension typeに付された条件により群となるのである．
$x,\quad y\in N,\quad \quad i,\quad j\in \{0,\quad 1, \ldots ,n-1\}$ に対して，
[tex:(xa^i)(ya^j)= \begin{cases} x\tau^i(y)a^{i+j} & \mbox{if }i+j

Lemma1
位数16の群 $G$ は $C_2\times C_2\times C_2\times C_2$ に同型な場合を除き， $C_8\triangleleft G$ または $C_4\times C_2 \triangleleft G$ である．

＜Lemma1の証明＞
$G$ の元の位数で最大のもので分類を行う．
1) 16または8の場合：
　この場合は $G$ は $C_8$ を含み，それは指数が2であるから正規部分群となる．
2) 2の場合：
　この場合は $G$ は可換群となり， $C_2\times C_2\times C_2\times C_2$ に同型となる．
2) 4の場合：
　一般にp群の中心 $Z(G)$ は1でないので，その中から位数2の元 $z$ を選ぶ．もし位数4の元 $x$ で， $x^2 \neq z$ なるものが存在すると [tex:\simeq C_4\times C_2]が求めるものである．そこですべての位数4の元 $x$ に対して $x^2=z$ としよう．[tex:G/]を考えるとその元の位数は高々2であるので，これは可換群( $\simeq C_2 \times C_2 \times C_2$ )となる．位数4の元 $x$ を任意に選んでその中心化群 $C_G(x)$ を考えると $g^{-1}xgx^{-1}$ の形の元を[tex:G/]に送ると1になるため，[tex:g^{-1}xgx^{-1}\in ]．すなわち $g^{-1}xg=x$ または $g^{-1}xg=xz$ であるから， $x$ の共役類の個数は高々2となり， $[G:C_G(x)]\leq 2$ . よって $|C_G(x)|\geq 8$ となるので， $C_G(x)$ は[tex:]以外の元 $y$ を含んでいる． $y$ の位数が2なら，[tex:\simeq C_4\times C_2]が求めるものである． $y$ の位数が4なら， $u=xy$ とすると $u^2=x^2y^2=z^2=1$ であるから，[tex:\simeq C_4\times C_2]が求めるものである．証明終わり．

このLemma1によれば， $N=C_8$ および $N=C_4\times C_2$ に対するextension typeで $n=2$ かつ( $N$ が可換なので) $\tau^2=id_N$ のものを調べれば位数16の群が尽くせる( $C_2\times C_2\times C_2\times C_2$ に同型なものを除く)ことになる．これは結局 $Aut(N)$ の位数2の元 $\tau$ （involution）とその不動点 $v\in N,\quad \tau(v)=v$ の組を探すことになる．