鈴木『群論』の問題を解いてみる−第1章 §2 - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

§２−１．
P.8のi),ii)の条件を満たすことを示す．
$H$ が空でないので，元 $x\in H$ が存在するが，問題の条件より $xx^{-1}=e\in H$ が分かる.　任意の元 $a\in H$ に対して，問題の条件より $ea^{-1}=a^{-1}\in H$ なので，ii)が成立している．任意の2元 $a,b\in H$ に対して, $b^{-1}\in H$ はすでにわかっているから， $a(b^{-1})^{-1}=ab\in H$ より, i) が成立する．逆にi), ii)から，題意の条件が出るのは自明である．　□

§２−２．
(a) 任意の元 $a\in H$ を取る. 条件から $a^n\quad (n>0, \quad n\in \mathbb{N})$ の形の元はすべて $H$ に含まれる． $G$ は有限群なので $a$ の位数は有限であるから，このベキ乗の中に $e,\quad a^{-1}$ が含まれているので，部分群の条件 ii)も満たされている．　□

(b) (a)の証明で実質使ったのは有限位数であることであるので証明は同様．　　□

§２−３．
ヒントがごちゃごちゃしているが，(b)から(a)がでるということで，後は順に誘導に従えばよい．

(b)は有理数 $r,\quad s$ を整数の分数の形で $r=a/b,\quad s=c/d$ と書いて， $m=bc,\quad n=da$ とすればよい．

(a)はまず，任意の0でない有理数 $r$ をとったとき, $\{nr|n\in \mathbb{Z}\}$ は $\{0\}$ を真に含み， $\mathbb{R}$ に真に含まれる部分群であるから， $\{0\}$ は極大部分群にはならない．すなわち $M\neq \{0\}$ .
次に $\mathbb{R}$ の元で $M$ に入っていない元 $r$ を取る．また， $M$ の0でない元 $s$ を取る． (b)より， $mr=ns$ なる $m,\quad n \in \mathbb{Z}$ が存在するが， $k=m$ とすれば $kr=ns \in M$ と題意を満たすものがとれる．

(c) $M_k$ が部分群となるのは， $M$ が部分群であることから出る．つまり， $s_1,s_2\in M_k$ ⇒ $ks_1,ks_2\in M$ ⇒ $k(s_1+s_2)=ks_1+ks_2\in M$ ⇒ $s_1+s_2\in M_k$ . また， $s\in M_k$ ⇒ $ks\in M$ ⇒ $k(-s)=-ks\in M$ ⇒ $-s\in M_k$ .

(d) まず，定義より $M_k\supseteq M$ であるのは明らかで，(a)より， $r\in M_k$ となっているが， $r\notin M$ であったから $M_k$ は $M$ より真に大きい. $M$ の極大性より， $M_k=\mathbb{R}$ .

(e) (d)より， $M_k=\mathbb{R}$ なので， $\forall s\in \mathbb{R}(ks\in M)$ が成立している．任意の元 $a\in \mathbb{R}$ をとる． $s=a/k\in \mathbb{R}$ であって， $ks=k(a/k)=a\in M$ となるから， $M=\mathbb{R}$ . 　　□

また，ヒントで示唆される別証明は次のとおり．（出るのは(d)ではなくて(e)のミスプリであろう）
剰余群 $\mathbb{R}/M$ は自明でない部分群を持たないため，それは素数位数 $p$ の巡回群である（定理2.24）．その生成元 $a$ を $\mathbb{R}$ から選んで， $\mathbb{R}/M=<\bar{a}>$ とする．このとき， $pa\in M$ が成立する．したがって， $\forall s\in \mathbb{R}(ps\in M)$ が成立するが， $s/p,\quad s\in \mathbb{R}$ なる形の元を考えれば， $s=p(s/p)\in M$ となるため， $M=\mathbb{R}$ なる矛盾が生じる．　□

§２−４．
(ドイツ文字のひげ文字フォントが出ないようです．）
$\mathfrak{H}$ が帰納的順序集合であることを示す．（2.27）より，任意の鎖に現れる部分群 $\{H_\lambda\}$ の和集合 $\cup_\lambda H_\lambda$ はまた部分群となり， $\forall \lambda (H_\lambda \cap X=\phi)$ ⇒ $(\cup_\lambda H_\lambda)\cap X=\phi$ であるから， $\cup_\lambda H_\lambda\in \mathfrak{H}$ . すわなち $\mathfrak{H}$ の任意の鎖が $\mathfrak{H}$ に上界をもつから，帰納的順序集合である． $\mathfrak{H}_0$ についても，まったく同様である．　　□