特別企画　小林・益川論文を読む！　−その5

特別企画

あまり悩んでいてもしょうがないので，手を動かしてみることにする．

ゲージ場と物資場の相互作用項は，もとは物資場の運動項から生じるのであるから，最初に物資場の運動項の形を決めておく必要がある．論文には明示的には書かれてはいないが，ゲージ不変の要請から運動項は，
\mathcal{L}_{kin}= \sum_{k=1,2}(\bar{L_{dk}} i \not\partial L_{dk}+\bar{R_{sk}^{(p)}}i \not\partial R_{sk}^{(p)}+\bar{R_{sk}^{(n)}}i \not\partial R_{sk}^{(n)} ) （ここにL_{dk}=\begin{pmatrix}{L_{dk}^{(p)}}\\{L_{dk}^{(n)}}\end{pmatrix}）となる．

これにゲージ場\not {A}を導入して，相互作用項を出すのであるが，Rはsingletであるからゲージ変換で変わらず，結局
\mathcal{L}_{weak}= \sum_{k=1,2} \bar{L_{dk}} \not {A} L_{dk}
だけとなる．この項を電荷ごとに分解してみる．そのために，SU(2)のリー環の生成元を
i\sigma_1=i\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad i\sigma_2=i\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad i\sigma_3=i\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}と選んでおいて，
{A_{\mu}}=\sum_j A_{\mu}^{j} \sigma_j と分解する. （物理では iA_\muがリー環の元になるような規約を設けている．これにより，各A_{\mu}^{j}は実の場であることになる．）また，\sigma_+=\frac{\sigma_1+i\sigma_2}{2}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad \sigma_-=\frac{\sigma_1-i\sigma_2}{2}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}を導入して，
{A_{\mu}}=\sum_j A_{\mu}^{j} \sigma_j=A_{\mu}^{+} \sigma_+ + A_{\mu}^{-}\sigma_- +A_{\mu}^{3} \sigma_3と分解する. ここにA_{\mu}^{+}=\frac{A_{\mu}^{1}+iA_{\mu}^{2}}{2},\quad A_{\mu}^{-}=\frac{A_{\mu}^{1}-iA_{\mu}^{2}}{2}は，複素場である．

この分解を利用すれば，
\mathcal{L}_{weak}= \sum_{k=1,2} \{ A_\mu^{+} \bar{L_{dk}^{(p)}}\gamma^\mu L_{dk}^{(n)}+{A_\mu}^{-} \bar{L_{dk}^{(n)}}\gamma^\mu L_{dk}^{(p)} + {A_\mu}^{3} (\bar{L_{dk}^{(p)}}\gamma^\mu L_{dk}^{(p)}-\bar{L_{dk}^{(n)}}\gamma^\mu L_{dk}^{(n)})\}
となるが，これを見れば，A_\mu^{+}，A_\mu^{-}，A_\mu^{3}がそれぞれ電荷 +1,-1,0のゲージ場，すなわちウィークボゾン \mathrm{W}^+，\mathrm{W}^-，\mathrm{Z}に対応することがわかる．


あとは前回の関係式
q_{k}^{(a)}=\begin{pmatrix} R_{sk}^{(a)}\\ L_{dk}^{(a)} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} q'_1^{(a)}\\ q'_2^{(a)}\end{pmatrix}=S^{-1}_{(a)} \begin{pmatrix} q_1^{(a)}\\ q_2^{(a)}\end{pmatrix},(p\quad n \quad \zeta \quad \lambda)=(q'_1^{(p)} \quad q'_1^{(n)} \quad q'_2^{(p)} \quad q'_2^{(n)})
を使って，(p\quad n \quad \zeta \quad \lambda)で書き直せばよい．

まず，L成分への射影演算子\frac{1+\gamma^5}{2}を使うと，

\mathcal{L}_{weak}= \sum_{k=1,2} \{ A_\mu^{+} \bar{q_{k}^{(p)}}\gamma^\mu \frac{1+\gamma^5}{2} q_{k}^{(n)}+{A_\mu}^{-} \bar{q_{k}^{(n)}}\gamma^\mu \frac{1+\gamma^5}{2} q_{k}^{(p)} + {A_\mu}^{3} (\bar{q_{k}^{(p)}}\gamma^\mu \frac{1+\gamma^5}{2} q_{k}^{(p)}-\bar{q_{k}^{(n)}}\gamma^\mu \frac{1+\gamma^5}{2} q_{k}^{(n)})\}

となる．

このうちA_\mu^{3}の項を見てみると，関係式\begin{pmatrix} q'_1^{(a)}\\ q'_2^{(a)}\end{pmatrix}=S^{-1}_{(a)} \begin{pmatrix} q_1^{(a)}\\ q_2^{(a)}\end{pmatrix}で，S{(a)}はユニタリ行列であったから，不変式 \sum_{k=1,2}\bar{q_{k}^{(a)}}\gamma^\mu \frac{1+\gamma^5}{2} q_{k}^{(a)}=\sum_{k=1,2}\bar{q'_{k}^{(a)}}\gamma^\mu \frac{1+\gamma^5}{2} q'_{k}^{(a)}が成立する．よってこの和の形はダッシュがついても変わらない．与式には (pの和）−（ｎの和）という形で現れている．

これはつまり，論文との対応で言うと\Lambda_3=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}となる．論文の結果とは異なっているが，おそらく元論文の誤りでないかと思う．K^{-1}\Lambda_3 KとKでの変換を忘れたか，qの成分の順番の勘違いと思われるが，S(a)等による混合が影響しない部分であるので，大した違いはない．しかし，この項の形は重要である．中性ウィークボゾンA_\mu^{3}と結合するのが，中性カレントであり，初回に述べたFCNCを抑制するGIM機構とは，正に上の不変式の中にフレーバを変化させる項が無いということである．クォークのペアがいくつあっても，それらをユニタリ行列で混合するかぎり，GIM機構が機能することが読み取れる．


次回，A_\mu^{+}の項がうまく計算できたら，大団円？！