■ - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

[集合論] Cofinality その2/2（Jech本p.31）

　次のLemma3.10には一応テキストに証明は付いているが，証明の概略のようなものなのでかなり苦労させられた．以下，テキストの解読結果である．

＜Lemma3.10＞　 $\kappa$ 無限基数とする．
　 $\kappa:\mbox{singular} \Leftrightarrow$

$\exists \mbox{ cardinal }\lambda < \kappa,\ \exists \{S_\xi:\xi < \lambda,\ S_\xi \subset \kappa,\ |S_\xi| < \kappa,\ \kappa=\cup_{\xi < \lambda}S_\xi \}$ ．
また，この条件を満たすような最小の $\lambda$ は $cf\ \kappa$ である．

＜証明＞
（ $\Rightarrow$ ） $\kappa$ の中のcofinalな $cf\ \kappa$ -列 $\alpha_\xi:\xi < cf\ \kappa$ がある． $\lambda:=cf\ \kappa$ とすればsingularなので $\lambda < \kappa$ かつLemma3.8より $\lambda$ は基数である． $S_\xi:=\alpha_\xi$ とすれば条件をすべて満たす□

（ $\Leftarrow$ ）この条件を満たす $\lambda$ が少なくとも一つあるという仮定なので，そのうち最小なものを改めて $\lambda$ としておく． $\beta_\xi:=\mbox{order-type}(\cup_{\nu < \xi}S_\nu)$ と定義する．

＜Claim 1＞　 $< \beta_\xi:\xi < \lambda >$ は $\kappa$ 内の非減少な $\lambda$ -列である．
＜証明＞　
　 $x < y < \lambda$ で，もし $\beta_y < \beta_x$ であるなら，それぞれが基数であったから， $|\beta_y| < |\beta_x|$ でなければならない．一方で， $\cup_{\nu < x}S_\nu \subset \cup_{\nu < y}S_\nu$ だから $|\beta_x| \le |\beta_y|$ となるので矛盾する．よって非減少列である．また，もし $\beta_\xi = \kappa$ が成立したとする（ $\kappa$ が基数なので $\cup_{\nu < \xi}S_\nu \subset \kappa$ から $|\beta_\xi| \le \kappa$ であることは分かっている）．このとき， $\cup_{\nu < \xi}S_\nu=\kappa$ であることを示そう．もし， $\cup_{\nu < \xi}S_\nu < \kappa$ ならば $\kappa$ が基数であったことから， $|\beta_\xi|=|\cup_{\nu < \xi}S_\nu| < \kappa$ でなければならないが，これは $\beta_\xi = \kappa$ と矛盾する．ところで $\beta_\xi = \kappa$ が成立するような最小の $\xi$ を $\xi_0$ とすると， $\{S_\xi:\xi < \xi_0\}$ が題意の条件を満たすため， $\lambda$ の最小性に反していることになる．よって $\beta_\xi < \kappa$ □

＜Claim 2＞　 $\kappa = lim_\xi \beta_\xi$
＜証明＞
$\beta:=lim_\xi \beta_\xi$ とする． $\kappa=\cup_{\xi < \lambda}S_\xi$ だったので， $f:\kappa \to \lambda \times \beta$ を次のように定める． $\alpha\in \kappa$ に対して

$f(\alpha):=(\xi,\gamma)\ ;\ \xi:=min\{\nu:\alpha \in S_\nu\},\ \gamma:=\mbox{order-type}(S_\xi\cap \alpha)$
$\forall \xi < \lambda (S_\xi \subset \beta)$ なので $f$ は定義されている．さて，ここで $f$ が中へのone-to-one写像であることを示そう． $f(x)=f(y)=(\xi,\gamma)$ とせよ．すなわち $x,y\in S_\xi$ かつ $\gamma=\mbox{order-type}(S_\xi \cap x)=\mbox{order-type}(S_\xi \cap x)$ ． $x < y$ としておこう．ここに包含関係 $x \subset y$ があって， $S_\xi \cap x \subset S_\xi \cap y$ となるが，これは整列集合間の順序を保つ写像となっており， $z\in S_\xi \cap x,\ z'\in S_\xi \cap x$ で $z' < z \Rightarrow z'\in S_\xi \cap x$ なので， $S_\xi \cap x$ は $S_\xi \cap y$ の切片である．また， $x\in S_\xi \cap y$ かつ $x \notin S_\xi \cap x$ なので $S_\xi \cap x$ 真に小さい切片である．真に小さい切片と全体は順序同型にならないが，このことは仮定の $\mbox{order-type}(S_\xi \cap x)=\mbox{order-type}(S_\xi \cap x)$ と矛盾する．よって $x=y$ であり， $f$ はone-to-oneとなる．ちなみにテキストでは基数に対しては，集合濃度を表す絶対値記号がついていたりいなかったりとこんがらかるが，たとえば $|S_\xi| < \kappa$ の濃度の比較と考えても， $|S_\xi|$ を $S_\xi \subset \kappa$ のorder typeとして順序数の比較と考えてもこの場合は $\kappa$ が基数なので同値となる．ただ，次に $|\lambda \times \beta|=\lambda\cdot |\beta|$ というような表記がでてきて解釈に悩むが，よくよく観察すると『基数には絶対値記号を付けなくても濃度の表記と読み替えてよい』というルールのようである．なので $|S_\xi| < \kappa$ などは濃度の比較と解釈しておけばよいが，以下ではあえて絶対値記号を付けるようにしておくことにする．
　次のステップでは定理3.5を使うが，これはAlephすなわち無限基数について成立する定理であることをリマインドしておく(2つ前の記事の件)．さて，上の $f$ により， $|\kappa| \le |\lambda\times \beta|=|\lambda|\cdot|\beta|$ ． $\beta$ の定義からもともと $\beta \le \kappa$ だが，仮に $\beta < \kappa$ と仮定してみよう． $|\beta| < |\kappa|$ で（∵ $\kappa$ は基数だから）， $\kappa' \le \beta$ かつ $|\kappa'|=|\beta|$ なるような基数 $\kappa'$ が存在する． $\lambda':=max(\lambda,\kappa')$ とする． $|\lambda|\cdot|\beta| \le |\lambda'|\cdot|\lambda'$ だが，左辺は $|\kappa|$ より等しいか大きいので， $\kappa'$ は無限基数でなければならない．すると定理3.5より $|\lambda'|\cdot|\lambda'|=|\lambda'|$ となるが， $|\kappa| \le |\lambda'| < |\kappa|$ は矛盾である．よって， $\beta = \kappa$ □

＜Claim 3＞　 $cf\ \kappa \le \lambda$
＜証明＞
$\lambda$ -列 $< \beta_\xi:\xi < \lambda >$ に $\alpha=\kappa$ として，Lemma3.7(ii)を適用すると， $cf\ \kappa=cf\ \lambda \le \lambda$ □

さて， $cf\ \kappa \le \lambda < \kappa$ であったから， $\kappa$ がsingularであることが証明された．また（ $\Rightarrow$ ）の証明に使った $cf\ \kappa$ 列があるので， $\lambda$ の最小性より $\lambda \le cf\ \kappa$ となるが，さきの不等式と合わせて $\lambda=cf\ \kappa$ がわかる □

　ここでテキストのコメントがあり，5章でのKönigの定理への期待が高まるが，その定理の系として次の定理は出るらしいのだが，ここでは独立に証明するとのこと．
＜Theorem 3.11＞ $\kappa$ を無限基数とするとき， $\kappa < \kappa^{cf\ \kappa}$
＜証明＞
定理のステートメントにおける不等号は濃度の不等号である．定数関数を考えれば， $\kappa \le \kappa^{cf\ \kappa}$ なので， $\kappa = \kappa^{cf\ \kappa}$ と仮定してみよう．これは， $cf\ \kappa$ から $\kappa$ への関数が $\kappa$ の元とone-to-one対応しているということなので，その対応を $F=\{f_\alpha:\alpha < \kappa,\ f_\alpha:cf\ \kappa \to \kappa\}$ と表記する．そうしておいて，以下に $F$ に属さないような関数 $f:cf\ \kappa\to \kappa$ を構成することで矛盾を導くが，要するにこれは対角線論法の類似品である．
　cofinalityを与える列を $\kappa=lim_{\xi\to cf\ \kappa} \alpha_\xi$ として，

$\forall \xi < cf\ \kappa;\ f(\xi):=min\{\gamma:\forall \alpha < \alpha_\xi(\gamma \neq f_\alpha(\xi)\}$
この上のカッコの中が空でない（少なくとも一つの $\gamma < \kappa$ が，カッコ内の性質を満たす）のは， $|\{f_\alpha(\xi):\alpha < \alpha_\xi\}| \le |\alpha_\xi| < \kappa$ なので， $\{f_\alpha(\xi):\alpha < \alpha_\xi\}\subsetneqq \kappa$ となり，左辺に属さない $\kappa$ の元が存在するためである．このように定義された $f:cf\ \kappa\to \kappa$ はどの $f_\alpha$ とも異なる．なぜなら，もし $\exists \alpha < \kappa(f=f_\alpha)$ なら， $\alpha < \alpha_\xi$ なるように $\xi < cf\ \kappa$ を選ぶと，定義から $f(\xi)=min\{\gamma:\forall \beta < \alpha_\xi(\gamma \neq f_\beta(\xi))\}$ なので，特に $\beta=\alpha$ ととると $f(\xi)\neq f_\alpha(\xi)$ ．これは $f=f_\alpha$ に矛盾する□

　テキストの締めくくりのコメントは，weakly inaccessible cardinalがどれぐらいでかいかというような話である． $\aleph_\alpha > \aleph_0=\omega$ が極限かつregularなcardinalとしたとき， $\aleph_\alpha = cf\ \aleph_\alpha = cf\ \alpha \le \alpha$ ．ここに2つ目の等式は， $\alpha=lim_{\xi < cf\ \alpha}\ \alpha_\xi$ としたとき， $\aleph_\alpha=lim_{\xi < cf\ \alpha}\ \aleph_{\alpha_\xi}$ なので， $cf\ \aleph_\alpha \le cf\ \alpha$ ．逆向きは $\aleph_\alpha=lim_{\eta\to cf\ \aleph_\alpha}\ \beta_\eta$ としたとき， $\gamma_\eta:=min\{\nu:\aleph_{\nu} > \beta_\eta\}$ と定義すれば， $\{\gamma_\eta\}$ は単調増加な $cf\ \aleph_\alpha$ 列であり， $\alpha=lim_{\eta \to cf\ \aleph_\alpha}\gamma_\eta$ となるため， $cf\ \alpha \le cf\ \aleph_\alpha$ ．また $\alpha \le \aleph_\alpha$ なので（∵ 超限帰納法による． $\alpha+1$ のとき $\alpha \le \aleph_\alpha < \aleph_{\alpha+1}$ なので $\alpha+1 \le \aleph_{\alpha+1}$ ． $\alpha=lim_{\xi \to \alpha}\xi$ のとき， $\xi \le \aleph_\xi \le \aleph_\alpha$ より $\alpha \le \aleph_\alpha$ が従う） $\aleph_\alpha=\alpha$ ．
　 $\alpha \to \aleph_\alpha$ は定義からnormal（p.22）なので，いくらでも大きなfixed point $\aleph_\alpha=\alpha$ をもつ（問題2.7）が，それがいつregularになるのかが問題とのこと．ちなみにテキストにはこのfixed pointの最小のもの $\kappa$ が次のように与えられているが，作り方からわかるようにそのcardinalityは残念ながら $\omega$ である．

$\kappa:=lim_{n\to \omega}\kappa_n$ ．ここに $\kappa_0:=\omega,\ \kappa_{n+1}:=\omega_{\kappa_n}$

つまりは $\kappa=lim\{\omega,\omega_\omega,\omega_{\omega_\omega},\cdots\}$ である．これがfixex pointであることを示すのに，自明でない $\aleph_\kappa \subset \kappa$ だけを示すと，左辺に属する元は有限回で打ち切った $\{\omega,\omega_\omega,\omega_{\omega_\omega},\cdots\}$ のどれかの元に属する $\xi$ で $\omega_\xi$ と書けるため，明らかに $\kappa$ の元となる．最小性は，もし $\omega < \beta$ なら $\omega_\omega < \omega_\beta=\beta$ ．以下繰り返せば $\kappa \le \beta$ が出る．
　以上のことから，weakly inaccessible cardinalが存在するなら，既に途方もなく大きな $\kappa$ よりさらに大きいということになる．