■ - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

[集合論] Canonical Well-Ordering of $\alpha \times \alpha$ （Jech本p.30）

　本節の最終目標はテキストp.31の(3.14)

$\aleph_\alpha+\aleph_\beta=\aleph_\alpha\cdot \aleph_\beta=max\{\aleph_\alpha,\aleph_\beta\}$
というシンプルな公式である．この証明のために，クラスの積 $Ord \times Ord$ にwell-orderingを次のように定義する．

$(\alpha,\beta) < (\gamma,\delta) \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} \begin{cases} max\{\alpha,\beta\} < max\{\gamma,\delta\}, \\ \mbox{ or } max\{\alpha,\beta\}=max\{\gamma,\delta\} \mbox{ and } \alpha < \gamma, \\ \mbox{ or } max\{\alpha,\beta\}=max\{\gamma,\delta\} \mbox{ and }\alpha=\gamma,\ \beta < \delta. \end{cases}$

　おや？この定義は整列集合の積に対する順序付け Definition 2.23（p.24）と微妙にmaxの条件があるのが違っている．しかし，なぜこのmaxの条件が必要なのかについては特にテキストではコメントはない．別にwell-orderingであることの証明には障害はない．これが理由かな？と思われるのは，テキストのorderingでは任意のinitial segmentは集合であるが（∵maxの条件で上限が縛られるため），もしDefinition 2.23を採用すると，たとえば $\{(\alpha,\beta):(\alpha,\beta) < (1,0)\}\supset \{(0,\alpha):\alpha \in Ord\}$ などと第１要素が0でない元のinitial segmentは全て真のクラスとなってしまう．
　これに関連して，テキストで $(0,\alpha)$ のinitial segmentが $\alpha \times \alpha$ であるというのもmaxのおかげである
（∵ $(\gamma,\delta) < (0,\alpha) \Leftrightarrow max\{\gamma,\delta\} < \alpha \Leftrightarrow (\gamma,\delta) \in \alpha \times \alpha$ ）．

　さて， $\Gamma(\alpha,\beta)$ を $(\alpha,\beta)$ のinitial segmentのorder typeと定義する．

＜補題＞

$\Gamma:Ord \times Ord \to Ord$ は上へのone-to-one写像である．
またそれは順序同型 $(\alpha,\beta) < (\gamma,\delta) \Leftrightarrow \Gamma(\alpha,\beta) < \Gamma(\gamma,\delta)$ である．

＜証明＞
$W(\alpha,\beta):=\{(\gamma,\delta):(\gamma,\delta) < (\alpha,\beta)\}$ をinitial segmentの表記する．
$(\alpha,\beta) < (\gamma,\delta) \Rightarrow W(\alpha,\beta) \subset W(\gamma,\delta)$ なのは明らかで，また右辺で $W(\alpha,\beta)$ は $W(\gamma,\delta)$ のinitial segmentなので，そのorder typeでもinitial segmentとなり， $\Gamma(\alpha,\beta) < \Gamma(\gamma,\delta)$ . 逆向きは今の証明から $(\alpha,\beta) \ge (\gamma,\delta) \Leftrightarrow\Gamma(\alpha,\beta) \ge \Gamma(\gamma,\delta)$ が出るからである．
　残りは $\Gamma:Ord \times Ord \to Ord$ がontoであることだが，これは結構悩んだ．まず， $u < \Gamma(\alpha,\beta) \Rightarrow u\in ran\ \Gamma$ を示そう．要するに像は下方向には詰まっているという意味である． $W(\alpha,\beta) \sim \Gamma(\alpha,\beta)$ なので $u$ に対応する $W(\alpha,\beta)$ 元を $(\gamma,\delta)$ としよう． $W(\gamma,\delta)$ は $\subset W(\alpha,\beta)$ のinitial segmentなので， $\Gamma(\alpha,\beta)$ の中で対応する順序数を $v=\Gamma(\gamma,\delta)$ としよう． $u \neq v$ ならどちらも同じ $W(\gamma,\delta)$ に順序同型なのに片方がもう一方のinitial segmentになるので矛盾．よって $u = v \in ran\ \Gamma$ ．最後にontoを示す．今見たように $ran\ \Gamma$ が $Ord$ 全部でないとすると， $\exists u\in Ord(\forall v \in ran\ \Gamma \Rightarrow v < u)$ というような上界 $u$ が存在する（像でない順序数のどれでもよい）． $u$ は集合なので， $ran\ \Gamma$ も分出公理より集合となるが，それとone-to-oneに対応する $Ord\times Ord$ は真のクラスなので，矛盾である□

　記号の復習として $\omega_\alpha$ というのは順序数 $\alpha$ 番目の基数であった．

＜定理＞

$\Gamma(\omega_\alpha,\omega_\alpha)=\omega_\alpha$ ＜証明＞
まず $\alpha=0$ のとき， $\omega_0=\omega$ で， $(m,n)\in \omega\times \omega$ が $k=max(m,n)$ ， $m$ ， $n$ の昇順に並べられており，全体として $\omega$ に順序同型であることはよいだろう．よって $\Gamma(\omega,\omega)=\omega$ ．さて， $\alpha$ を $\Gamma(\omega_\alpha,\omega_\alpha) \neq \omega_\alpha$ なる最小の順序数としよう．集合として $x \mapsto (0,x)$ で単射が入るので明らかに $|\omega_\alpha| \le |\omega_\alpha \times \omega_\alpha|$ ．ここで等号が成立しないという仮定により， $\omega_\alpha < \Gamma(\omega_\alpha,\omega_\alpha)$ ．すると $\beta,\gamma \in \omega_\alpha$ で， $\Gamma(\beta,\gamma)=\omega_\alpha$ なるものがある．前回の記事の議論で $\omega_\alpha$ は極限順序数なので， $\beta,\gamma < \delta \in \omega_\alpha$ なる $\delta$ を選ぶ（たとえば $max(\beta,\gamma)+1$ ）．先の議論で $\delta\times \delta$ はinitial segmentで $(\beta,\gamma)\in \delta\times \delta$ なので $\omega_\alpha=\Gamma(\beta,\gamma) < \Gamma(\delta,\delta)$ ．よって濃度としては $\aleph_\alpha \le |\delta \times \delta|$ ．一方で， $\omega_\alpha$ の最小性から， $|\delta \times \delta|=|\delta| < \aleph_\alpha$ なので矛盾である（最後の不等式は $\omega_\alpha$ が基数かつ $\delta < \omega_\alpha$ であることを使った）□

この定理の系として

$\aleph_\alpha+\aleph_\beta=\aleph_\alpha\cdot \aleph_\beta=max\{\aleph_\alpha,\aleph_\beta\}$
がでる．証明を補足しておく．

＜証明＞
$\alpha \ge \beta$ と仮定しておこう． $\omega_\alpha \times \omega_\beta \subset \omega_\alpha \times \omega_\alpha$ と上の定理より， $|\omega_\alpha \times \omega_\beta| \le |\omega_\alpha \times \omega_\alpha|=|\omega_\alpha|$ ．もとより適当な包含写像により $\omega_\alpha \subset \omega_\alpha+\omega_\beta \subset \omega_\alpha \times \omega_\beta$ なので(∵和から積に入れるには $\omega_\alpha \ni x \mapsto (x,0);\ \omega_\beta \ni y \mapsto (0,y+1)$ とか)， $\aleph_\alpha \le \aleph_\alpha+\aleph_\beta \le \aleph_\alpha\cdot \aleph_\beta \le \aleph_\alpha \cdot \aleph_\alpha=\aleph_\alpha$ □