■ - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

[集合論] Alephs（Jech本p.29）

　cardinalはもともとは集合の同値類として定義されているが，その代表元を順序数から選びたいという流れである．ただし選択公理を使った議論は5章を待てということらしい．まずは順序数の中で同じcardinalityを持つもののクラスの最小元として基数（cardinal number）を定義する．テキストではこれに同値な定義として，
順序数 $\alpha$ が基数 $\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} \forall \beta < \alpha (|\beta|\neq |\alpha|)$ としている．
　冒頭部分に『すべての無限なcardinalは，極限順序数である』と書いてあってアレ？と思うが，この節でのcardinalとは先の順序数の基数(cardinal number)のことなのでまだ選択公理を使った一般的なcardinalの議論をしているわけではない．というわけで，このステートメントは『 $\omega < \alpha$ なる後続順序数 $\alpha$ は基数にはならない』ということを言っているだけである．この証明を補足しておく． $\alpha=\beta+1=\beta \cup \{\beta\}$ として， $|\alpha|=|\beta|$ を示す．対応は次の様である．

$g:\alpha \to \beta;\ \ g(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{if }x=\beta, \\ x+1 & \mbox{if }x < \omega, \\ x & \mbox{otherwise.} \end{cases}$
（前にも使った，ひとつずらして隙間を作る手法である）

＜Lemma 3.4.＞

(i)任意の順序数 $\alpha$ よりも大きい基数が存在する
(ii) $X$ を基数の集合とするとき， $sup\ X$ は基数である．

＜証明＞
　(i) 任意の集合 $X$ に対して，順序数 $h(X)$ を次のように定義する．

$h(X):=min\{\alpha \in Ord: \mbox{there is no one-to-one function }\alpha \mbox{ into X}\}$
これは $X$ の濃度より大きい濃度をもつ最小の基数の意である．もちろんひょっとするとこれは空かもしれないわけだが，テキストp.29の最後に次のような説明があって，これが空でないと言っている．

”There is only a set of possible well-orderings of subsets of X. Hence there is only a set of ordinals for which a one-to-one function of $\alpha$ into $X$ exists.”

かなりの謎の呪文だが，和訳しつつ解読を試みてみよう．"There is only a set"を『は高々集合である』と解釈すれば（直訳は『ぽつんと集合がある』）数学のステートメントらしくなる．解読結果は，『 $X$ の部分集合とその上に可能なwell-orderingの（部分集合とその上のwell-orderingの両方を動かしたときの）全体は高々集合である．よって， $\alpha$ から $X$ の中へのone-to-one 関数が存在するような順序数の全体は高々集合である．』となるが，前段の数学的な記述は英文だけからでは読み取れなくて，後半から推定したものである．ここはまあ，Jech先生の手抜きであろう．英文解釈の問題はともかく，数学のステートメントとしてまとめておこう．

　集合 $S$ に対して，その上のwell-ordering全体の集合を $WO(S)$ と書く． $WO(S)$ が集合なのは，二項関係 $R \in P(S \times S)$ のうちで，well-orderingという条件（これは論理式で書ける）を満たすものなので，選出公理より集合となるからである．
① $\cup_{S \subset X}(\{S\}\times WO(S))$ は置換公理と和集合の公理から集合である． $\{S\}$ を掛けておくのは disjointな和にしておきたかったからである．これが前半の英文の意味である．

② $WO(S)$ の元にそれと順序同型な順序数を対応させる写像 $\phi$ は関数である．①の集合の元に対して，第二成分に射影してから $\phi$ を掛けるという対応も関数であり，置換定理からこの像は順序数の集合となる．これが二番目の文の意味である．

　順序数 $\alpha$ から $X$ の中へのone-to-one関数はその像として $X$ の部分集合 $S$ を定め，同時に $\alpha$ の構造から $S$ にはwell-orderingの構造が入る．逆に部分集合 $S$ とその上のwell-orderingが与えられると，それと順序同型となる順序数 $\alpha$ が唯一決まり，同時に $\alpha$ から $S$ の上へのone-to-one関数が定まる．ということで，①，②により $\{\alpha \in Ord:\mbox{there is an one-to-one function } \alpha \mbox{ into X}\}$ が集合であり，真のクラスである $Ord$ を尽くせないため， $h(X)$ が空でないということがわかる．
　以上より直ちに $|\alpha| < |h(\alpha)|$ □

　Lemma3.4からある基数 $\alpha$ より濃度が大きい基数が常に存在するので，その中で最小なものを $\alpha^+$ と表記する． $\aleph_0=\omega_0:=\omega$ から始めて， $\aleph_{\alpha+1}=\omega_{\alpha+1}:=\aleph_\alpha^+$ . 極限順序数 $\alpha$ に対しては， $\aleph_\alpha=\omega_\alpha:=sup\{\omega_\beta:\beta < \alpha\}$ と定義する． $\omega_\alpha$ は順序数と見ていて，実体は同じだが $\aleph_\alpha$ は基数（集合濃度）と見ている． $\aleph_0$ はいわゆる可算濃度であるが， $\aleph_1$ がどんなものなのかはよくわからない．連続体仮説がZFCと独立であるので， $\aleph_1$ が具体的にどうなるのか（たとえば連続体仮説を公理に入れると $\aleph_1=|P(\omega)|$ ）はモデル依存ということになろうか．