Awodey『圏論』第9章（9.2節） - Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

さて、命題9.4である。まず注意として、原文でも似たような書き方なので罪は同じだが、条件2から条件1を言う時に、条件2の中に直接のデータとしては $\eta$ は与えられておらず、すぐ下の $\eta_c=\phi(1_{FC})$ を $\eta$ の定義として、これが自然変換であることを示す必要がある。それゆえp.240終わりからp.241中ごろの議論が必要となる。あと、証明の最初に誤訳が一つ（下参照のこと）。

証明を少し補足。1から2の時、 $\phi(g)=U(g)\circ \eta_C$ は $\phi$ の作り方そのものであり、 $\eta_c=\phi(1_{FC})$ は、 $U(1_{FC})=1_{UFC}$ であるから成立している。
2から1の時のp.241の中段の練習問題を解いてみる。 $\eta$ が自然変換であることは射 $f:C'\to C$ に対して、

$\begin{matrix} & \quad C' & \to^{\eta_{C'}} & UF(C') \\ f & \downarrow & & \downarrow & UF(f) \\ & C & \to^{\eta_{C}} & UF(C) \\ \end{matrix}$

が可換であることを示せばよいが、 $UF(f)\circ \eta_{C'}=UF(f)\circ \phi(1_{FC'}=\phi(F(f)\circ 1_{FC'})=\phi(F(f))$ . 一方、 $\psi(\eta_C \circ f)=\psi(\eta_C)\circ F(f)=\psi(\phi(1_{FC}))\circ F(f)=1_{FC}\circ F(f)=F(f)$ であるから、 $\eta_C \circ f=\phi(F(f))$ となるため、可換が成立している。

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・p.238下から3行目
　誤『 $\phi$ の作り方としては、任意の $\eta$ は単に述べられたものでしかないが』
　正『与えられた $\eta$ に対して、 $\phi$ の作り方は、まさに先に述べられたものであるが』
　原文『The recipe for $\phi$ , given $\eta$ is just the one stated』

文の構造から、主語は"The recipe"以外にあり得ない。それはそれとしても"given"を"任意の"と訳すのはまずいでしょう。